{"id":27337,"date":"2008-08-19T20:41:48","date_gmt":"2008-08-19T18:41:48","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2008\/08\/19\/erdnahe-asteroiden-und-fuzzy-logic\/"},"modified":"2025-05-14T17:24:14","modified_gmt":"2025-05-14T15:24:14","slug":"erdnahe-asteroiden-und-fuzzy-logic","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2008\/08\/19\/erdnahe-asteroiden-und-fuzzy-logic\/","title":{"rendered":"Erdnahe Asteroiden und Fuzzy Logic"},"content":{"rendered":"

\"ResearchBlogging.org\"<\/a><\/span><\/p>\n

Gestern habe ich \u00fcber die Probleme geschrieben<\/a>, die auftreten wenn man die Eigenschaften der chaotischen erdnahen Asteroiden untersuchen. Heute m\u00f6chte ich erkl\u00e4ren, wie man diese Probleme l\u00f6sen kann.<\/p>\n


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Instabile Gruppen<\/b><\/font><\/p>\n

Das urspr\u00fcngliche Problem war folgendes: Wegen des Chaos macht es keinen Sinn, die Langzeitdynamik einzelner Asteroiden zu untersuchen. Aber wie unsere Arbeit gezeigt hat, waren auch die Gruppeneinteilungen der Asteroiden durch das Chaos gest\u00f6rt: es war nicht mehr m\u00f6glich, vern\u00fcnftige Ergebnisse bei der Untersuchung von Asteroidengruppen zu erhalten.<\/p>\n

Das liegt daran, dass die Gruppen auf einer zweiwertigen Logik basieren: entweder ist ein Asteroid Mitglied einer Gruppe oder er ist es nicht und ein Asteroid kann immer nur Mitglied einer einzigen Gruppe sein. Da nun die Langzeitdynamik eines erdnahen Asteroiden vom Chaos dominiert wird haben wir ein prinzipielles Problem. Egal welche<\/i> Gruppeneinteilung man sich ausdenken w\u00fcrde – irgendwann f\u00fchrt das Chaos dazu, dass die Gruppengrenzen \u00fcberschritten werden.<\/p>\n

Um das Problem zu l\u00f6sen braucht man also keine neue Gruppeneinteilung – sondern eine v\u00f6llig neue Art<\/i> des Klassifizierens.<\/p>\n

Als ich \u00fcber dieses Problem nachdachte, hab ich zuf\u00e4llig einen ehemaligen Kollegen getroffen der mittlerweile als Lehrer in einer Schule arbeitet. Der hat mir erz\u00e4hlt, dass er mit seinen Sch\u00fclern gerade die Fuzzy-Logik durchgenommen hat – eine Verallgemeinerung der normalen zweiwertigen Logik. Im Laufe des Gespr\u00e4chs fiel uns dann auf, dass diese Logik genau das sein k\u00f6nnte, was zur L\u00f6sung des Problems n\u00f6tig ist!<\/p>\n


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Fuzzy-Logik<\/b><\/font><\/p>\n

Fuzzy-Logik (oder „unscharfe Logik“) wurde 1965 von Lotfi Zadeh in Berkely entwickelt. Es handelt sich dabei um eine Logik, bei der zwischen „wahr“ und „falsch“ noch beliebig viele Zwischenstufen existieren. Damit lassen sich auch ungenaue Begriffe wie „ein wenig“, „ein bisschen“, „ziemlich viel“ usw mathematisch genau erfassen. Man kann damit z.B. das Ergebniss von „ungef\u00e4hr f\u00fcnf plus ungef\u00e4hr zwei“ berechnen (wenig \u00fcberraschend ist es „ungef\u00e4hr sieben“ \ud83d\ude09 ). Wie Fuzzy-Logik funktioniert l\u00e4sst sich aber besser an einem anderen Beispiel pr\u00e4sentieren.<\/p>\n

Nehmen wir das Alter eines Menschen: ich bin im Moment 31 Jahre alt. Bin ich schon alt<\/i>? (sicher nicht!) Oder bin ich noch jung<\/i>? (auf jeden Fall!) Oder vielleicht zumindest ein bisschen alt<\/i>? Und ich bin wohl auch nicht mehr sehr jung<\/i>. Solche Gruppen („ein bisschen alt“, „sehr jung“) sind ein ideales Anwendungsgebiet f\u00fcr Fuzzy-Logik. Aber wie definiert man nun, wer zu welcher Gruppe geh\u00f6rt?<\/p>\n

Wie ich oben schon gesagt habe gibt es bei normaler Logik nur 2 M\u00f6glichkeiten: entweder ist etwas Teil der Gruppe oder nicht. Mathematisch l\u00e4sst sich das durch eine sogenannte charakteristische Funktion<\/i> beschreiben die nur 2 Werte annehmen kann: 1 wenn ein Objekt Teil einer Gruppe ist und 0 wenn es nicht Mitglied ist. In der Fuzzy-Logik verwendet man „Mitgliedschaftsfunktion“ die jeden beliebigen Wert zwischen 0 und 1<\/i> annehmen k\u00f6nnen! Diese Zahl nennt man dann „Grad der Mitgliedschaft“. Ein Objekt kann also – so wie im normalen Fall – mit einem Grad der Mitgliedschaft von 1 Mitglied einer Gruppe sein (und mit einem Grad von 0 kein Mitglied) – es ist aber m\u00f6glich das man beispielsweise mit einem Grad der Mitgliedschaft von 0,3 nur „ein bisschen“ Mitglied ist. Wie nun der Grad der Mitgliedschaft berechnet wird, h\u00e4ngt vom konkreten Verlauf der Mitgliedschaftsfunktion aus. <\/p>\n

Im Beispiel des Alters von oben kann das so aussehen:<\/p>\n

\"i-e193175281637fca7cff91c9d88d899c-fuzzy.jpg\"<\/form>\n

Diese sechs Kurven sind die Mitgliedschaftsfunktionen f\u00fcr 6 Fuzzy-Gruppen: „sehr junge Menschen“, „junge Menschen“, „nicht sehr junge Menschen“, „mehr oder weniger alte Menschen“, „alte Menschen“ und „sehr alte Menschen“. Anhand des Alters kann nun f\u00fcr jede Gruppe der Grad der Mitgliedschaft berechnet werden. <\/p>\n

Ich nehme nochmal mich als Beispiel: mit 31 Jahren ist mein Grad der Mitgliedschaft zur Gruppe der „sehr jungen Menschen“ nur noch etwa 0,3. Bei der Gruppe der „jungen Menschen“ ist es immerhin noch 0,5. Den h\u00f6chsten Grad der Mitgliedschaft habe ich – leider – mit etwa 0,75 bei der Gruppe der „nicht sehr jungen Menschen“ \ud83d\ude41 (Notiz: nicht mehr mich selbst als Beispiel verwenden!). Aber immerhin betr\u00e4gt der Grad der Mitgliedschaft zu den Gruppen der „mehr oder weniger alten“, „alten“ und „sehr alten“ Menschen bei mir noch 0.<\/p>\n

Laut diesem Beispiel w\u00e4re ich also haupts\u00e4chlich „nicht sehr jung“ – aber immerhin noch ein bisschen „jung“ und kleines bisschen „sehr jung“. Und auch wenn ichs lieber anders h\u00e4tte – das Ergebnis beschreibt die Realit\u00e4t doch einigermassen gut. Mit 31 Jahren bin ich zwar noch nicht alt – aber definitiv nicht mehr „jung“ oder „sehr jung“ – es sei denn, man vergleicht mich mit deutlich \u00e4lteren Menschen. <\/p>\n

Mit Fuzzy-Logik kann man also erstens auch logische Zwischenstufen mathematisch korrekt beschreiben und zweitens kann ein Objekt gleichzeitig (mit verschiedenen Graden der Mitgliedschaft) Mitglied in mehreren Gruppen sein. Also genau das, was man braucht um das Problem der erdnahen Asteroiden zu l\u00f6sen!<\/p>\n


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Eine unscharfe Beschreibung der erdnahen Asteroiden<\/b><\/font><\/p>\n

Will man mit Fuzzy-Gruppen arbeiten muss man zuerst mal eine vern\u00fcnftige Definition finden und dann ebenfalls vern\u00fcnftige Mitgliedschaftsfunktionen aufstellen.<\/p>\n

Nat\u00fcrlich gibt es unz\u00e4hlige M\u00f6glichkeiten, Fuzzy-Gruppen zu definieren. Ich habe mich dazu entschieden, Gruppen aufzustellen, die auf der Tatsache basieren, dass die erdnahen Asteroiden sehr oft sehr nahe an die Planeten herankommen. Ich habe also folgende Klassen definiert:<\/p>\n