{"id":24204,"date":"2017-10-04T07:00:29","date_gmt":"2017-10-04T05:00:29","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2017\/10\/04\/der-kampf-des-19-jahrhunderts\/"},"modified":"2025-05-14T16:35:55","modified_gmt":"2025-05-14T14:35:55","slug":"der-kampf-des-19-jahrhunderts","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2017\/10\/04\/der-kampf-des-19-jahrhunderts\/","title":{"rendered":"Der Kampf des (19.) Jahrhunderts"},"content":{"rendered":"

\"sb-wettbewerb_klein\"<\/a>Dieser Artikel ist Teil des ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb 2017<\/a>. Informationen zum Ablauf gibt es hier<\/a>. Leserinnen und Leser k\u00f6nnen die Artikel bewerten und bei der Abstimmung einen Preis gewinnen – Details dazu gibt es hier<\/a>. Eine \u00dcbersicht \u00fcber alle am Bewerb teilnehmenden Artikel gibt es hier<\/a>. Informationen zu den Autoren der Wettbewerbsartikel finden sich in den jeweiligen Texten.<\/i>
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\nDer Kampf des (19.) Jahrhunderts<\/b><\/p>\n

von MZ<\/p>\n

Ich bin gelernter Hadronenphysiker und zur Zeit in der industriellen Forschung t\u00e4tig. Dies ist mein erster popul\u00e4rwissenschaftlicher Text, mit dem ich testen will, ob mir wissenschaftliches Schreiben Spa\u00df macht. Tut es.<\/p>\n

Wie ist eigentlich Vektorrechnung entstanden? Was waren die Vorraussetzungen und die historischen Umst\u00e4nde? Was haben Quaternionen damit zu tun?<\/p>\n

Stellt euch vor, ihr seid Raumfahrer (oder wenigstens Raumfahrtingenieur) und m\u00f6chtet mit einem Raumfahrzeug einen Asteroiden besuchen. Dazu m\u00fcsst ihr wissen, wo das Gef\u00e4hrt relativ zum Asteroiden ist und wie ihr es ausrichten m\u00fcsst, damit es am Ziel ankommt. Oder ihr seid Grafikentwickler und wollt ein Computerspiel mit 3D-Grafik basteln. Das funktioniert nur, wenn die Objekte im Spiel sich korrekt bewegen und drehen, nachdem der Spieler z.B. die Maus bewegt und damit die Sichtperpektive \u00e4ndert. Auch der Automobilentwickler braucht ein gutes Verst\u00e4ndnis von Position und Orientierung von Objekten in der Ebene und im Raum, wenn er selbstfahrende Autos entwickelt. <\/p>\n

Den Ort eines Objekts kann man ja mit der x-, y- und z-Koordinate angeben, aber wie sieht das mit der Richtung aus? Beim Auto kann man zum Beispiel sagen, es f\u00e4hrt Richtung Nordwesten. Beim Raumgef\u00e4hrt und bei den Computerspielobjekten reicht das aber nicht, weil diese noch einen Winkel gegen die Horizontale und um die eigene L\u00e4ngsachse haben k\u00f6nnen. Eine M\u00f6glichkeit ist die Angabe von Euler-Winkeln<\/a>. Es gibt unterschiedliche Systeme von Euler-Winkeln, aber einer g\u00e4ngigen Konvention nach nennt man die drei Winkel Roll-, Gier- und Nickwinkel. Eine Benennung, die ganz gut mit der Anschauung zusammenpasst.<\/p>\n

Dann gibt es aber auch Menschen, die Stein auf Bein schw\u00f6ren, dass Quaternionen<\/i> heutzutage das Wundermittel sind, Rotationen im Raum zu beschreiben. Als ich dar\u00fcber gelesen habe, war ich erstaunt. Quaternion? Das ist doch eine Erweiterung der komplexen Zahlen, die im vor- oder vorvorletzten Jahrhundert gefunden wurden. Und jetzt sind die wieder ausgegraben worden und vollbringen wundersame Dinge in mathematischen Anwendungen? Toll! Aber irgendwie fand ich das merkw\u00fcrdig. Ist das wirklich so eine tolle Erkenntnis, dass ein in die Tage gekommenes, staubiges Zahlensystem besser geeignet ist, Rotationen im Raum zu beschreiben als Winkel, sprich Drehmatrizen, sprich „moderne“ lineare Algebra?<\/p>\n

Quaternionen sind zu einer Zeit entstanden, in der auch die Theorie der Elektrodynamik entstand. Die Grundgleichungen der E-Dynamik wurden von James Clerk Maxwell in den 1860er Jahren entwickelt und ver\u00f6ffentlicht (und hei\u00dfen heute Maxwell-Gleichungen). Diese Gleichungen, sowie die ganze Theorie der E-Dynamik basiert auf dem Rechnen mit Vektoren, mathematische Objekte, die in den 1880er Jahren entstanden. Richtig gelesen: Da stimmt schon wieder was nicht mit der zeitlichen Abfolge der Dinge! Was ist denn historisch tats\u00e4chlich passiert? Weil ich neugierig war, habe ich mir ein Buch<\/a> gekauft und bin der Sache nachgegangen.<\/p>\n

Der Status quo im Jahr 1830<\/h2>\n

In den Jahrzehnten um und vor 1830 waren die Mathematiker bem\u00fcht, den drei-dimensionalen Raum zu beschreiben. Aus heutiger Sicht suchte man damals die Mathematik der Vektoren. Man kannte nur „einfache“ Zahlen. Drei Zahlen sind n\u00f6tig, um eine Position im Raum anzugeben, aber wie verhalten sich verschiedene Positionen, also Punkte, zueinander? Wie k\u00f6nnen Linien, Fl\u00e4chen, R\u00e4ume beschrieben und erzeugt werden, die beliebig orientiert sind? Bekannt waren damals schon ein paar Eigenschaften, die diese neue Mathematik haben musste. Unter anderem von Isaac Newton war die Idee des Kr\u00e4fteparallelograms bekannt.<\/p>\n

\"Kr\u00e4fteparallelogramm<\/a>
Kr\u00e4fteparallelogramm zur Addition zweier Kr\u00e4fte.
<\/figcaption><\/figure>\n

Im Gegensatz zu einer zahlenartigen Gr\u00f6\u00dfe hat eine Kraft nicht nur einen Betrag sondern auch eine Richtung. Hat man zwei Kr\u00e4fte, die an einem K\u00f6rper zerren, dann passiert das Gleiche, wie wenn nur eine Kraft wirkt, deren Betrag und Richtung der Diagonalen des von den beiden Kr\u00e4ften aufgespannten Parallelograms entspricht. Aus heutiger Sicht beschreibt das haargenau die Addition von zwei Vektoren. Bez\u00fcglich Linien, Fl\u00e4chen und R\u00e4ume hatte man folgende Idee: Eine Linie, im heutigen Sprachgebrauch Strecke, ist charakterisiert durch zwei Punkte. Zwei Strecken, die nicht parallel sind und die einen gemeinsamen Punkt haben, spannen ein Parallelogramm auf, dessen Fl\u00e4cheninhalt entweder durch den Winkel oder mit den Koordinaten der Punkte berechnet werden kann. Das wird heute auch noch so gemacht und entspricht dem Kreuzprodukt zweier Vektoren. Im damaligen Bild hat man also zwei Linien multipliziert und bekam dabei eine Fl\u00e4che. Der logisch n\u00e4chste Schritt ist es, noch eine Linie an diese Fl\u00e4che zu multiplizieren und ein Volumen zu bekommen (ein Parallelepiped, aufgespannt durch die drei Vektoren).<\/p>\n

\"Strecke<\/a>
Strecke mal Strecke ergibt Fl\u00e4che, Fl\u00e4che mal Strecke ergibt Volumen.<\/figcaption><\/figure>\n

Die Strategie bei der Suche der drei-dimensionalen Algebra war eine Verallgemeinerung der Rechnerei im zwei-dimensionalen. Die war n\u00e4mlich damals schon bekannt. Komplexe Zahlen waren seit dem 16. Jahrhundert bekannt und 1799 wurde von Caspar Wessel ein „Paper“ ver\u00f6ffentlicht, in dem beschrieben ist, dass sich komplexe Zahlen prima eignen, geometrische Vektoren in der Ebene, also in 2D, zu beschreiben, inklusive Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. \u00dcber dieses Thema gab es letztes Jahr hier<\/a> beim Schreibwettbewerb einen sehr guten \u00dcberblick. Ausgehend von der 2D-Darstellung suchte man (unter anderem der gro\u00dfe Carl Friedrich Gauss) eine Erweiterung der komplexen Zahlen, um damit im 3D zu rechnen – und scheiterte. Heute wei\u00df man, dass so eine Verallgemeinerung von 2D auf 3D, die die reellen und komplexen Zahlen als Grenzfall enth\u00e4lt, nicht funktionieren kann.<\/p>\n

Hamilton und Grassmann<\/h2>\n

Die weitere Geschichte der Vektoren wird zun\u00e4chst von zwei sehr interessanten und unterschiedlichen Pers\u00f6nlichkeiten bestimmt. Fangen wir mit William Rowan Hamilton an. Hamilton wurde 1805 in Dublin, Irland geboren und war ein echtes Wunderkind. Mit 13 Jahren konnte er 13 unterschiedliche Sprachen sprechen. W\u00e4hrend seiner Studienzeit ist er vielfach ausgezeichnet worden und noch vor seinem Abschluss ist er mit 21 Jahren zum Professor f\u00fcr Astronomie und zum k\u00f6niglichen Astronom von Irland ernannt worden. Mit 30 ist er zum Ritter geschlagen worden und war einer der ber\u00fchmtesten Mathematiker seiner Zeit. Auch Hamilton hatte zun\u00e4chst erfolglos nach den 3-dimensionalen Zahlen gesucht, dann aber 1843 die Quaternionen entdeckt.<\/p>\n

Quaternionen sind vier-dimensionale Zahlen. W\u00e4hrend komplexe Zahlen neben der reellen Zahl noch eine imagin\u00e4re Einheit besitzen (i<\/i>), haben Quaternionen eine reelle Zahl und gleich drei imagin\u00e4re Einheiten (i, j, k<\/i>). Ein Quaternion x<\/i> sieht also so aus:<\/p>\n

x = (x0<\/sub>, x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>) = x0<\/sub>+i·x1<\/sub>+j·x2<\/sub>+k·x3<\/sub><\/i><\/p>\n

Man kann mit diesen Zahlen „ganz normal“ rechnen und sie als Gleichung mit drei Unbekannten i, j<\/i> und k<\/i> betrachten. Jedes mal, wenn man ein Produkt zweier dieser Unbekannten hat, kann man es nach folgenden Regeln ersetzen (um dadurch nur Terme mit h\u00f6chstens einer Unbekannten zu bekommen):<\/p>\n

i·i = j·j = k·k = -1<\/i><\/p>\n

i·j = -i·j = k, j·k = -k·j = i, k·i = -i·k = j<\/i><\/p>\n

Was hat das Ganze jetzt mit Vektoren zu tun? Nun, zun\u00e4chst wurde historisch der Teil x0<\/sub><\/i> als skalarer<\/i> Part bezeichnet. Der Rest, also der Teil mit den imagin\u00e4ren Einheiten, wurde als vektorieller<\/i> Part bezeichnet. Addiert man zwei Quaternionen x<\/i> und y<\/i> und ordnet danach das Produkt wieder in Skalar- und Vektorteil bekommt man:<\/p>\n

x = x0<\/sub> + i·x1<\/sub> + j·x2<\/sub> + k·x3<\/sub><\/i><\/p>\n

y = y0<\/sub> + i·y1<\/sub> + j·y2<\/sub> + k·y3<\/sub><\/i><\/p>\n

x + y = (x0<\/sub>+y0<\/sub>) + i·(x1<\/sub>+y1<\/sub>) + j·(x2<\/sub>+y2<\/sub>) + k·(x3<\/sub>+y3<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Da ist schon recht kompliziert, aber zwei Quaternionen zu multiplizieren ist fast schon qualvoll:<\/p>\n

x·y = x0<\/sub>·y0<\/sub> + i·x0<\/sub>·y1<\/sub> + j·x0<\/sub>·y2<\/sub> + k·x0<\/sub>·y3<\/sub><\/i><\/p>\n

+ i·x1<\/sub>·y0<\/sub> + ii·x1<\/sub>·y1<\/sub> + ij·x1<\/sub>·y2<\/sub> + ik·x1<\/sub>·y3<\/sub><\/i><\/p>\n

+ j·x2<\/sub>·y0<\/sub> + ji·x2<\/sub>·y1<\/sub> + jj·x2<\/sub>·y2<\/sub> + jk·x2<\/sub>·y3<\/sub><\/i><\/p>\n

+ k·x3<\/sub>·y0<\/sub> + ki·x3<\/sub>·y1<\/sub> + kj·x3<\/sub>·y2<\/sub> + kk·x3<\/sub>·y3<\/sub><\/i><\/p>\n

An dieser Stelle erinnern wir uns an die Produktregeln von oben und fassen alle Produkte von zwei imagin\u00e4ren Einheiten zu einer oder keiner zusammen und stellen danach wieder nach i<\/i>, j<\/i> und k<\/i> um:<\/p>\n

x·y = (x0<\/sub>·y0<\/sub> – x1<\/sub>·y1<\/sub> – x2<\/sub>·y2<\/sub> – x3<\/sub>·y3<\/sub>)<\/i><\/p>\n

+ i·(x0<\/sub>·y1<\/sub> + x1<\/sub>·y0<\/sub> + x2<\/sub>·y3<\/sub> – x3<\/sub>·y2<\/sub>)<\/i><\/p>\n

+ j·(x0<\/sub>·y2<\/sub> + x2<\/sub>·y0<\/sub> + x3<\/sub>·y1<\/sub> – x1<\/sub>·y3<\/sub>)<\/i><\/p>\n

+ k·(x0<\/sub>·y3<\/sub> + x3<\/sub>·y0<\/sub> + x1<\/sub>·y2<\/sub> – x2<\/sub>·y1<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Der Zusammenhang mit Vektoren ergibt sich, wenn wir nur Quaternionen x<\/i> und y<\/i> betrachten, die keinen Skalarteil haben (x0<\/sub> = y0<\/sub> = 0<\/i>). Dann ergibt sich f\u00fcr die Addition:<\/p>\n

x + y = i·(x1<\/sub>+y1<\/sub>) + j·(x2<\/sub>+y2<\/sub>) + k·(x3<\/sub>+y3<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Und f\u00fcr die Multiplikation:<\/p>\n

x·y = -(x1<\/sub>·y1<\/sub> + x2<\/sub>·y2<\/sub> + x3<\/sub>·y3<\/sub>) + i·(x2<\/sub>·y3<\/sub> – x3<\/sub>·y2<\/sub>) + j·(x3<\/sub>·y1<\/sub> – x1<\/sub>·y3<\/sub>) + k·(x1<\/sub>·y2<\/sub> – x2<\/sub>·y1<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Wenn man jetzt im Geiste frech i<\/i>, j<\/i> und k<\/i> gegen die aus dem Schulunterrucht bekannten Einheitsvektoren ex<\/sub><\/i><\/b>, ey<\/sub><\/i><\/b> und ez<\/sub><\/i><\/b> ersetzt, sieht die Addition von 2 Quaternionen aus, wie die Addition von Vektoren:<\/p>\n

x + y = ex<\/sub><\/b>·(x1<\/sub>+y1<\/sub>) + ex<\/sub><\/b>·(x2<\/sub>+y2<\/sub>) + ex<\/sub><\/b>·(x3<\/sub>+y3<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Die Multiplikation beinhaltet das (negative) moderne Skalarprodukt im Skalarteil und das moderne Vektor- oder Kreuzprodukt im vektoriellen Teil des Quaternionenprodukts:<\/p>\n

x·y = -(x1<\/sub>·y1<\/sub> + x2<\/sub>·y2<\/sub> + x3<\/sub>·y3<\/sub>) + ex<\/sub><\/b>·(x2<\/sub>·y3<\/sub> – x3<\/sub>·y2<\/sub>) + ey<\/sub><\/b>·(x3<\/sub>·y1<\/sub> – x1<\/sub>·y3<\/sub>) + ez<\/sub><\/b>·(x1<\/sub>·y2<\/sub> – x2<\/sub>·y1<\/sub>)<\/i><\/p>\n

Andere Vektoroperationen, wie z.B. Rotationen lassen sich \u00e4hnlich mit Quaternionen durchf\u00fchren, wodurch klar ist, dass hier endlich ein zufriedenstellendes System vorliegt, Objekte im Raum zu beschreiben und damit zu rechnen. Aufgrund Hamiltons Eifer und seiner Autorit\u00e4t wurden Quaternionen damals weltweit ein Kassenschlager und Hamilton hat den Rest seiner 22 Lebensjahre damit verbracht, sein System zu propagieren und zu erforschen. Aus heutiger Sicht ist das tragisch, weil ein zweifelsfrei genialer Geist so viel Zeit f\u00fcr eine im Nachhinein intellektuelle Sackgasse investiert hat. Was h\u00e4tte Hamilton wohl noch f\u00fcr die Menschheit leisten k\u00f6nnen, wenn er nicht so \u00fcberzeugt von seiner Sch\u00f6pfung gewesen w\u00e4re?<\/p>\n

Kommen wir nun zu Hermann G\u00fcnther Gra\u00dfmann aus Stettin im preu\u00dfischen Pommern. Er wurde vier Jahre nach Hamilton geboren und hatte einen Lebenslauf, der unterschiedlicher zu diesem nicht sein k\u00f6nnte. Als Kind fiel er durch „eingeschr\u00e4nkte geistige Spannkraft“ auf, sp\u00e4ter studierte er Theologie und Philologie und entwickelte ein gro\u00dfes Interesse an Mathematik, die er sich autodidaktisch aneignete. W\u00e4hrend des Studiums hat er nie eine mathematische Vorlesung geh\u00f6rt. Zeit seines Lebens arbeitete er als Lehrer in Stettin.<\/p>\n

Gra\u00dfmann ver\u00f6ffentlichte „Die lineale Ausdehnungslehre“ im Jahr 1844, ein Jahr nach Hamiltons Entdeckung der Quaternionen. Dieses Werk beschreibt die moderne Vektorrechnung und zeugt von Gra\u00dfmanns tiefem Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die Mathematik. Sein Vektorsystem ist eingebettet in ein fundamentaleres System, worin n-dimensionale R\u00e4ume beschrieben und sechzehn<\/i> verschiedene Produkte zwischen Vektoren, Zahlen und anderen Dingen (inkl. modernem Skalar- und Kreuzprodukt) definiert werden. Damit gilt Gra\u00dfmann als eigentlicher Begr\u00fcnder der Vektor- und Tensorrechnung und einer der ersten, die sich h\u00f6herdimensionalen Konzepten widmeten.<\/p>\n

Das Problem war allerdings: Seine Arbeit war sehr anspruchsvoll, kein Mensch kannte Gra\u00dfmann und er verwendete eine selbst erdachte, von \u00fcblichen Konventionen abweichende Notation. Niemand wollte das Buch lesen, geschweige denn einen Kommentar dazu schreiben. 15 Jahre nach Erscheinen gab es drei<\/i> ver\u00f6ffentliche Kommentare. Einer von Gra\u00dfmann selbst, einer von M\u00f6bius und einer von Hamilton im Vorwort eines Lehrbuchs \u00fcber Quaternionen (immerhin Hamilton hat die Bedeutung von Gra\u00dfmanns Arbeit verstanden). 20 Jahre nach Erscheinen wurden 600 Kopien des Buchs als Schmierpapier verwendet. Gra\u00dfmann hat in all der Zeit frustriert um Anerkennung gek\u00e4mpft und 1862 eine \u00dcberarbeitung ver\u00f6ffentlicht, die verst\u00e4ndlicher war. 1877, in seinem Todesjahr, schrieb Gra\u00dfmann dar\u00fcber: „Diese Arbeit hat noch weniger Aufmerksamkeit erregt als die erste.“<\/p>\n

Die Stunde der Quaternionen<\/h2>\n

Wir schreiben das Jahr 1865, das Jahr in dem Hamilton starb. Quaternionen waren in der Fachwelt als tolle Errungenschaft bekannt und erforscht, aber sie wurden wenig benutzt. Das Gra\u00dfmannsche System, das der heutigen Vektorrechnung sehr \u00e4hnelte, war unbekannt und Gra\u00dfmann hatte sich mittlerweile einer anderen Disziplin zugewandt: Sprachwissenschaft, wo er ebenso bedeutende Beitr\u00e4ge geleistet hat und auch zu Lebzeiten daf\u00fcr gew\u00fcrdigt wurde. Hamiltons „Nachfolger“ als Schutzpatron und Erforscher der Quaternionen wurde in dieser Zeit der Schotte Peter Guthrie Tait, ein Kindheits- und Studienfreund von Maxwell. Er hat wichtige Werke geschrieben und gro\u00dfen Wert auf die physikalische Anwendung der Quaternionen gelegt (f\u00fcr Profis: Tait hat intensiv den Nabla<\/i>-Operator erforscht, der damals auch als Quaternion dargestellt wurde). Es war die Zeit, in der die Elektrodynamik entstand und Maxwell hat seine Gleichungen auch in Quaternionenform angegeben, beeinflusst durch die Arbeiten von Tait. Er hat seine Theorie aber nicht auf Grundlage von Quaternionen entwickelt, weil er kein gro\u00dfer Fan davon war. Seine Meinung zu Quaternionen war, dass die Methoden, r\u00e4umliche Gr\u00f6\u00dfen behandeln zu k\u00f6nnen unsch\u00e4tzbar seien, aber Quaternionen in ihrer Anwendung dabei wenig pragmatisch. Meinungen wie diese sorgten daraufhin, dass sich allm\u00e4hlich das System der modernen Vektoren aus den Quaternionen sch\u00e4lte. <\/p>\n

Die Stunde der Vektoren<\/h2>\n

Was war denn das Problem mit Quaternionen? Es gibt im Wesentlichen zwei gro\u00dfe Kritikpunkte. Man kann zwar mit Quaternionen alles machen, was man auch mit modernen Vektoren machen kann, weil Skalar- und Vektorprodukt in der Multiplikation zweier Quaternionen enthalten sind, aber diese Produkte treten in der Rechnung nur gemeinsam auf, wie oben in der Gleichung zu sehen ist. In der physikalischen Bedeutung sind Skalar- und Vektorprodukt aber v\u00f6llig verschieden und kommen auch in den meisten F\u00e4llen nicht gemeinsam zur Anwendung. Auch ergeben sich die beiden Produkte nur, wenn die Skalarteile der beteiligten Quaternionen 0 sind, das komplette Quaternionenprodukt ist f\u00fcr physikalische Anwendung \u00fcberfl\u00fcssig. Das Quaternion als vierdimensionale Zahl hat zudem keine anschauliche Bedeutung. Der zweite Kritikpunkt ist das Vorzeichen des Skalarprodukts. In der Formel oben sieht man, dass sich beim Multiplizieren zweier Quaternionen das negative<\/i> Skalarprodukt ergibt. Das ist unpraktisch, weil sich dadurch alle Gleichungen, wo ein Skalarprodukt berechnet wird, ein Minus einfangen. Als Beispiel sei hier die klassische Definition der kinetischen Energie E eines K\u00f6rpers mit Masse m genannt:<\/p>\n

E = m·v<\/b>\u00b2\/2<\/p>\n

Das v<\/b> ist die Geschwindigkeit und eine Gr\u00f6\u00dfe mit Richtung. Nach damaliger Lesart also ein Quaternion. Die Gleichung der kinetischen Energie lautete also<\/p>\n

E = -m·(v<\/b>\u00b2).S\/2<\/p>\n

Dabei bedeutet (v<\/b>\u00b2).S: Der Skalarteil des Quaternionenprodukts v<\/b>·v<\/b>. Das Minus in der Gleichung ist leider notwendig, um das Minus des negativen Skalarprodukts auszugleichen. Das Vorzeichen von einigen Formen von „Energie“ ist zwar oft Konvention, aber eine stets negative kinetische Energie ergibt einfach keinen Sinn.<\/p>\n

Wie konnte man die Probleme mit Quaternionen l\u00f6sen? Im Jahr 1881 kamen der amerikanische Physiker Josiah Willard Gibbs und 1883 unabh\u00e4ngig davon der Engl\u00e4nder Oliver Heaviside auf die Idee, die Quaternionen um den Skalarpart zu reduzieren (der ist sowieso in allen Anwendungsf\u00e4llen 0). Das Quaternionenprodukt spalteten sie in zwei unabh\u00e4ngige Produkte auf, Skalarprodukt und Vektorprodukt. Das Skalarprodukt bekam zudem das umgekehrte Vorzeichen verpasst (v<\/b>\u00b2 ≥ 0), sodass die physikalischen Gleichungen wieder intuitiver werden. Gibbs und Heaviside haben ihre Vektormethoden verbreitet und immer mehr Forscher auf ihre Seite gezogen. Die Quaternionen hielten sich noch eine Zeit hartn\u00e4ckig. Zwischen 1890 und 1910 herrschte ein wahrer Kampf der beiden Systeme, der teils mit harten Worten ausgefochten wurde. Insbesondere Heaviside hatte aber gro\u00dfen Enfluss auf die Verbreitung der Vektoren, weil er als Nachfolger Maxwells in der Entwicklung der Elektrodynamik gilt und dort nat\u00fcrlich sein System verwendete. 1910 hatten sich die Vektoren endg\u00fcltig durchgesetzt und die Quaternionisten waren \u00fcberzeugt oder verstorben (eher letzteres).<\/p>\n

Interessant ist, dass weder Gibbs noch Heaviside die Arbeit Gra\u00dfmanns kannten bevor sie die Vektoren erfanden. Obwohl also streng genommen Gra\u00dfmann als eigentlicher Erfinder des Vektorsystems gilt, ist seine Arbeit von keiner Bedeutung f\u00fcr die Entwicklung des modernen Vektorsystems. Viel wichtiger waren dagegen Hamiltons Quaternionen, die quasi unfreiwillig Sch\u00fctzenhilfe f\u00fcr die Vektoren geleistet haben.<\/p>\n

Und heute?<\/h2>\n

Wenn man mal beide Systeme nebeneinander legt und vergleicht, sieht man das Quaternionen den Vektoren mathematisch eigentlich \u00fcberlegen sind. Bevor er die Quaternionen entdeckte, suchte Hamilton ein Zahlensystem, das die gleichen Eigenschaften wie die reellen und komplexen Zahlen hat: Assoziativit\u00e4t (A·[B·C] = [A·B]·C) unter Multiplikation, Kommutativit\u00e4t unter Addition und Multiplikation (A·B = B·A), Distribution (A·[B+C] = A·B + A·C), Unzweideutigkeit der Division (A·B = A·C -> B = C), und das sogenannte Gesetz der Moduli (sinngem\u00e4\u00df: |A|·|B| = |A·B|). Bis auf die Kommutativit\u00e4t der Multiplikation (zu sehen an i·j = -j·i) besitzen Quaternionen alle diese Eigenschaften.<\/p>\n

Bei modernen Vektoren sind zwei verschiedene Multiplikationen definiert. Beim Skalarprodukt ist Assoziativit\u00e4t irrelevant, Division ist nicht eindeutig und das Gesetz der Moduli gilt auch nicht. Das Kreuzprodukt ist zus\u00e4tzlich noch nicht mal kommutativ. W\u00e4hrend das Produkt zweier Quaternionen eigentlich ziemlich intuitiv und gem\u00e4\u00df Standardregeln der Algebra definiert ist, sind Kreuz- und Skalarprodukt der Vektoren am Anfang ziemlich verwirrend (zumindest war’s bei mir so). Es sei noch erw\u00e4hnt, dass es kein Problem ist, Quaternionen mit reellen oder komplexen Zahlen zu addieren oder multiplizieren. Einen Vektor kann man nicht einfach an eine Zahl addieren. Die Vektoren haben sich aber trotzdem durchgesetzt, weil sie einfach anschaulicher sind. Quaternionen sind zwar nette mathematische Spielobjekte, aber das Konzept eines Vektors im Raum versteht wahrscheinlich jedes Kind.<\/p>\n

Als kleinen „Bonus“ f\u00fcr alle, die bis hierhin durchgehalten haben, gibt es hier die Anleitung, wie man Rotationen mit Quaternionen durchf\u00fchrt: Um einen Vektor (x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>)<\/i> im Raum um den Koordinatenursprung zu drehen, „verpackt“ man ihn in ein Quaternion x = (0, x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>)<\/i> und multipliziert dieses von beiden Seiten mit einem Quaternion p<\/i>:<\/p>\n

x‘ = p·x·p*<\/i><\/p>\n

Das Quaternion p = (cos(φ), a1<\/sub>·sin(φ), a2<\/sub>·sin(φ), a3<\/sub>·sin(φ))<\/i> beinhaltet den Drehwinkel φ<\/i> und den Vektor a<\/i> der Drehachse. p*<\/i> ist das konjugierte<\/a> Quaternion von p<\/i>.<\/p>\n

Zum Schluss wollen wir noch kl\u00e4ren, warum es trotzdem heute Menschen und technische Zweige gibt, die Quaternionen verwenden. Oben habe ich als Beispiel Computergrafik und Raumfahrt genannt. Das sind Bereiche, wo es auf pr\u00e4zise Berechnungen von Drehungen ankommt und wo unter anderem Geschwindigkeit und Genauigkeit relevant sind. Es werden sehr oft und sehr viele Drehungen berechnet und da ein Computer Zahlen immer runden muss, werden auch kleinste Rechenungenauigkeiten irgendwann ein Problem. Quaternionen sind hierbei numerisch einfacher zu korrigieren (bzw. normieren<\/i>) als z.B. Drehmatrizen und werden daher gerne bei Computerberechnungen benutzt. Ob Vektoren anschaulicher sind, ist einem Computer v\u00f6llig egal.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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