{"id":23083,"date":"2016-09-20T06:00:03","date_gmt":"2016-09-20T04:00:03","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/09\/20\/was-machen-eigentlich-mathematiker\/"},"modified":"2025-05-14T16:17:47","modified_gmt":"2025-05-14T14:17:47","slug":"was-machen-eigentlich-mathematiker","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/09\/20\/was-machen-eigentlich-mathematiker\/","title":{"rendered":"Was machen eigentlich Mathematiker?"},"content":{"rendered":"<p><i><b>Hinweis: <\/b>Dieser Artikel ist ein Beitrag zum <a href=\"https:\/\/scienceblogs.de\/astrodicticum-simplex\/2016\/07\/19\/der-scienceblogs-blog-schreibwettbewerb-2016\/\">ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb 2016<\/a>. Hinweise zum Ablauf des Bewerbs und wie ihr dabei Abstimmen k\u00f6nnt <a href=\"https:\/\/scienceblogs.de\/astrodicticum-simplex\/?p=22936\">findet ihr hier<\/a>.<br \/>\n<a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/sb-wettbewerb.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/sb-wettbewerb.png\" alt=\"sb-wettbewerb\" width=\"500\" height=\"172\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-15702\" \/><\/a><\/i><\/p>\n<p><b>Das sagt der Autor des Artikels, <b>Andreas Geyer-Schulz <\/b> \u00fcber sich:<\/b><\/p>\n<p>Andreas Geyer-Schulz ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Karlsruher<br \/>\nInstitut f\u00fcr Technologie.<br \/>\nIm Rahmen des Sonderforschungsbereichs \u201eWellenph\u00e4nomene\u201c (SFB 1173)<br \/>\nbesch\u00e4ftigt er sich mit dispersiven Differentialgleichungen.<br \/>\nWeitere Informationen \u00fcber die T\u00e4tigkeiten des SFB finden Sie im<br \/>\n<a href=\"https:\/\/blog.waves.kit.edu\/wp\/\">SFB-Blog<\/a>.<\/p>\n<p>&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;<\/p>\n<h1>Was machen eigentlich Mathematiker?<\/h1>\n<blockquote>\n<p>We often hear that mathematics consists mainly of \u201cproving theorems\u201d.<br \/>\nIs a writer\u2019s job mainly that of \u201cwriting sentences\u201d? &mdash; Gian-Carlo Rota<\/p>\n<\/blockquote>\n<h2>Prolog<\/h2>\n<p>In der Schule kommt Mathematik kaum vor.<br \/>\nDaher ist es wenig verwunderlich, dass viele Leute keine Vorstellung davon haben, was Mathematiker eigentlich machen.<br \/>\nAber auch f\u00fcr Mathematiker ist es gar nicht so leicht, Fachfremden Einblicke in ihre T\u00e4tigkeit zu geben.<\/p>\n<p>Mathematiker erz\u00e4hlen sehr gerne \u00fcber ihre Arbeit.<br \/>\nJedoch sto\u00dfen sie schnell auf Schwierigkeiten sich verst\u00e4ndlich auszudr\u00fccken.<br \/>\nEin Beispiel: In der ersten Version dieses Artikels habe ich den Begriff \u201ebijektive Abbildung\u201c verwendet.<br \/>\nTats\u00e4chlich ist das Wort \u201ebijektiv\u201c den meisten Menschen unbekannt.<br \/>\nAuch das Wort \u201eAbbildung\u201c hat im Alltag eine andere Bedeutung als in der Mathematik.<\/p>\n<p>Nun ist es nicht schlimm, wenn man das Wort \u201ebijektiv\u201c nicht kennt.<br \/>\nEs w\u00e4re auch nicht schwer zu verstehen, was es bedeutet.<br \/>\nJedoch gibt es in der Mathematik viele Fachw\u00f6rter, die eine ganz pr\u00e4zise Bedeutung haben.<br \/>\nHieraus ergibt sich ein Problem, wenn ein Mathematiker zur Allgemeinheit spricht.<br \/>\nWenn er begeistert anf\u00e4ngt \u00fcber ein mathematisches Thema zu reden und dabei nicht ins Vage und Ungef\u00e4hre abdriften m\u00f6chte, so stellt er fest, dass er erst einmal viele W\u00f6rter und ihre Bedeutung erkl\u00e4ren m\u00fcsste.<br \/>\nUnd vor lauter W\u00f6rter Erkl\u00e4ren kommt er dann gar nicht mehr dazu von der Mathematik zu erz\u00e4hlen.<\/p>\n<p>Um dieses Problem zu vermeiden schreibe ich nicht \u00fcber \u201eernsthafte\u201c, \u201en\u00fctzliche\u201c oder gar \u201eber\u00fchmte\u201c Mathematik.<br \/>\nSondern ich schreibe \u00fcber ein Beispiel, hinter dem sich technisch und begrifflich einfache Mathematik verbirgt.<br \/>\nTrotz dieser Einfachheit zeige ich daran exemplarisch typische Vorgehensweisen von Mathematikern.<br \/>\nInsbesondere gehe ich auf die folgenden Punkte ein.<\/p>\n<ul>\n<li>Wie kann man reale Vorg\u00e4nge in der Sprache der Mathematik beschreiben?<\/li>\n<li>F\u00fcr welche Fragestellungen interessieren sich Mathematiker?<\/li>\n<li>Wie gelangen sie zu neuen Erkenntnissen?<\/li>\n<li>Welchen Nutzen hat Mathematik?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Betrachten wir dazu das Video eines Jongleurs.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/77gid2hi_M8\" frameborder=\"0\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<h2>Teil 1. Mathematiker erfinden eigene Sprachen<\/h2>\n<p>Mathematiker arbeiten mit abstrakten Objekten, die keine direkte Entsprechung in der realen Welt besitzen, zum Beispiel Zahlen, Mengen, Funktionen&nbsp;&#8230;<br \/>\nUmgekehrt ist ein Jongleur kein mathematisches Objekt.<br \/>\nEs geht nun darum, das Jonglieren in der realen Welt durch ein mathematischen Modell zu beschreiben.<br \/>\nErst innerhalb eines solchen Modells kann ein Mathematiker Mathematik betreiben.<br \/>\nWesentliche Eigenschaften sollen in einem sinnvollen Modell erhalten bleiben, unwesentliche werden ignoriert.<br \/>\nWas ist also im obigen Video wesentlich um die Jonglage zu verstehen?<\/p>\n<p>Durch genaue Beobachtung des Videos stellt man fest.<\/p>\n<ol>\n<li>Zu einem gewissen Zeitpunkt wird je ein Ball gefangen und gleich wieder geworfen.<\/li>\n<li>Zwischen den W\u00fcrfen vergeht in etwa gleich viel Zeit.<\/li>\n<li>Es wird abwechselnd mit der linken und der rechten Hand geworfen.<\/li>\n<li>Die B\u00e4lle werden unterschiedlich hoch geworfen.<\/li>\n<li>Die Reihenfolge, in der die B\u00e4lle geworfen werden, \u00e4ndert sich.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Diese Beobachtungen f\u00fchren zu einem mathematischen Modell.<br \/>\nAus der Sicht eines Jongleurs spielen nur die Zeitpunkte eine Rolle, in denen er in das Geschehen eingreift.<br \/>\nDies ist der Moment, in dem er einen Ball f\u00e4ngt und von neuem in die Luft wirft.<br \/>\nDazwischen fliegen die B\u00e4lle von ganz alleine gem\u00e4\u00df der physikalischen Gesetze, die im Folgenden keine Rolle spielen.<br \/>\nWas muss der Jongleur im Moment des Abwurfs wissen?<br \/>\nEr muss so hoch werfen, dass der Ball zum richtigen Zeitpunkt wieder landet.<br \/>\nDer richtige Zeitpunkt ist dabei durch das gew\u00fcnschte Jongliermuster bestimmt.<br \/>\nIm einfachsten Fall landen die B\u00e4lle wieder in der Reihenfolge, in der sie geworfen wurden.<br \/>\nAber auch kompliziertere Muster sind m\u00f6glich.<\/p>\n<p>Als Modell f\u00fcr die Zeitpunkte des Werfens verwenden wir die ganzen Zahlen <code>...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...<\/code>.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling1.png\" alt=\"juggling1\" width=\"500\" height=\"146\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-23144\" \/><\/a><\/p>\n<p>Wir stellen uns vor, dass der Jongleur leise mitz\u00e4hlt und bei jeder neuen Zahl ein neuer Wurf passiert.<br \/>\nDie W\u00fcrfe werden nun durch eine Funktion <code>j<\/code> beschrieben.<br \/>\nDabei gibt <code>j(t)<\/code> den Zeitpunkt an, an dem der zur Zeit <code>t<\/code> geworfene Ball wieder gefangen werden soll.<br \/>\nZum Beispiel: <code>j(0)=3, j(1)=4, j(2)=5, j(3)=6,...<\/code><br \/>\nDas bedeutet: Der zum Zeitpunkt <code>0<\/code> geworfene Ball wird zum Zeitpunkt <code>3<\/code> wieder geworfen.<br \/>\nZu den Zeitpunkten <code>1<\/code> und <code>2<\/code> finden zwei andere W\u00fcrfe statt, die ebenfalls durch die Funktion <code>j<\/code> beschrieben werden.<\/p>\n<p>Jedoch ist nicht jede Funktion <code>j<\/code> zum Jonglieren geeignet.<br \/>\nWir m\u00fcssen mindestens die folgenden Forderungen stellen.<\/p>\n<ol>\n<li>Auf Deutsch: Ein Ball wird geworfen, zu einem sp\u00e4teren Zeitpunkt wieder gefangen.<br \/>\nAuf Mathematisch: Es gilt <strong><code>j(t)&gt;t<\/code><\/strong> f\u00fcr jeden Zeitpunkt <code>t<\/code>.<\/li>\n<li>Auf Deutsch: Zu jedem Zeitpunkt muss ein Ball wurfbereit sein.<br \/>\nAuf Mathematisch: Die Funktion <code>j<\/code> ist <strong>surjektiv<\/strong>, d.h., zu jedem <code>t<\/code> gibt es ein <code>s<\/code> mit <code>j(s) = t<\/code>.<\/li>\n<li>Auf Deutsch: Zwei B\u00e4lle d\u00fcrfen nicht gleichzeitig landen.<br \/>\nSie sind n\u00e4mlich schwer zu fangen.<br \/>\nAuf Mathematisch: Die Funktion <code>j<\/code> ist <strong>injektiv<\/strong>, d.h. wenn <code>t<\/code> und <code>s<\/code> unterschiedliche Zeitpunkte sind, dann sind auch die Zeitpunkte <code>j(t)<\/code> und <code>j(s)<\/code> unterschiedlich.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Eine Funktion, die die ganzen Zahlen auf sich abbildet und sowohl injektiv als auch surjektiv ist, nennt man <strong>Permutation<\/strong>.<br \/>\nEin Mathematiker kann also diese Forderungen ganz kurz in folgender Definition zusammenfassen.<\/p>\n<hr>\n<p>Eine <strong>Jonglierfunktion<\/strong> <code>j<\/code> ist eine Permutation der ganzen Zahlen mit der Bedingung <code>j(t)&gt;t<\/code> f\u00fcr alle Zeitpunkte t.<\/p>\n<hr>\n<p>In dieser Definition steckt nun die gesamte mathematische Beschreibung des Jonglierens.<br \/>\nDabei wurden eine Reihe von <em>Vereinfachungen<\/em> gemacht.<br \/>\nIn der realen Welt ist Jonglieren kompliziert: die Koordination der H\u00e4nde, die Flugbahnen der B\u00e4lle, wie f\u00e4ngt man eigentlich an&nbsp;&#8230;<br \/>\nAus der Sicht eines Mathematikers geht es nur darum, Jonglierfunktionen, also Funktionen, die obige Regeln erf\u00fcllen, zu untersuchen.<\/p>\n<p>Ein erster oft hilfreicher Schritt zum besseren Verst\u00e4ndnis ist eine gute <em>Visualisierung<\/em>.<br \/>\nVon jeder ganzen Zahl <code>t<\/code> zeichnet man einen Pfeil zum Funktionswert <code>j(t)<\/code>.<br \/>\nDie unterschiedlichen B\u00e4lle werden durch unterschiedliche Farben markiert.<br \/>\nDas ist auch schon die erste mathematische Erkenntnis: Die Anzahl der ben\u00f6tigten Farben ergibt die Anzahl der jonglierten B\u00e4lle.<br \/>\nSp\u00e4ter zeige ich noch, wie man die Anzahl der B\u00e4lle sogar ausrechnen kann.<\/p>\n<p>Die folgenden Abbildung zeigt das einfachste Beispiel mit drei B\u00e4llen.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling2.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling2.png\" alt=\"juggling2\" width=\"500\" height=\"242\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-23145\" \/><\/a><\/p>\n<p>Nun hat man bereits zwei M\u00f6glichkeiten eine Jonglierfunktion mitzuteilen.<br \/>\nMan kann eine Formel wie <code>j(t)=t+3<\/code> angeben oder man kann eine Zeichnung anfertigen.<br \/>\nBeides ist bei komplizierten Mustern unhandlich.<br \/>\nGute <em>Notation<\/em> ist ein weiterer wichtiger Bestandteil von Mathematik.<br \/>\nUm Jongliermuster besser aufzuschreiben, kann man sich folgendes \u00fcberlegen.<\/p>\n<p>F\u00fcr den Jongleur ist gar nicht die absolute Angabe der Wurfzeitpunkte interessant (\u201eder Ball zur Zeit 5 soll zur Zeit 10 wieder landen\u201c) sondern er ben\u00f6tigt eine relative Angabe (\u201edieser Ball soll 5 W\u00fcrfe sp\u00e4ter wieder landen\u201c).<br \/>\nWir fassen dazu die Differenzen <code>j(t)-t<\/code> als Folge auf.<br \/>\nIn dem vorhin diskutierten und gezeichneten Beispiel <code>j(0)-0=3, j(1)-1=3, j(2)-2=3, j(3)-3=3,...<\/code> oder kurz <code>...3333...<\/code>.<br \/>\nWenn diese Folge periodisch ist, dann reicht es, eine Periode anzugeben.<br \/>\nAlso ganz kurz <code>3<\/code>.<br \/>\nEine solche Angabe nennt man <strong>Jonglierfolge<\/strong>.<\/p>\n<p>Die konstanten Jonglierfolgen <code>3<\/code>, <code>4<\/code>, <code>5<\/code>,&nbsp;&#8230; sind dabei die jeweils einfachsten Muster, die man mit 3,4,5&nbsp;&#8230; B\u00e4llen jonglieren kann.<\/p>\n<p>Ich fasse kurz zusammen:<\/p>\n<ul>\n<li>Eine Jonglierfunktion ist eine mathematische Beschreibung des Jonglierens, die die Realit\u00e4t stark vereinfacht und die gewisse mathematische Regeln erf\u00fcllt.<\/li>\n<li>Zu jeder Jonglierfunktion <code>j<\/code> geh\u00f6rt eine Jonglierfolge.<br \/>\nSie wird durch die Formel <code>j(t)-t<\/code> gebildet.<\/li>\n<li>Bei periodischen Jongliermustern ergibt sich der gro\u00dfe Vorteil, dass die Jonglierfolge eine ganz kompakte und praktische Notation ist.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Im n\u00e4chsten Bild werden die im Video vorgef\u00fchrten Jonglierfolgen dargestellt.<br \/>\nMit einem Klick auf die Jonglierfolge, kann man nochmal zur passenden Stelle im Video springen:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=77gid2hi_M8&amp;t=4\"><code>3<\/code><\/a>,<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=77gid2hi_M8&amp;t=17\"><code>441<\/code><\/a>,<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=77gid2hi_M8&amp;t=28\"><code>423<\/code><\/a>,<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=77gid2hi_M8&amp;t=38\"><code>531<\/code><\/a>,<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=77gid2hi_M8&amp;t=48\"><code>4413<\/code><\/a>.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling3.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling3.png\" alt=\"juggling3\" width=\"500\" height=\"349\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-23146\" \/><\/a><\/p>\n<p>Die B\u00f6gen in den Zeichnungen haben keinen Bezug zur tats\u00e4chlichen Flugbahn der B\u00e4lle.<br \/>\nDa aber ein Ball, der l\u00e4nger fliegt, auch h\u00f6her geworfen wird, kann man diese Intuition durch unterschiedlich hohe B\u00f6gen unterst\u00fctzen.<\/p>\n<p>Die Frage nach der N\u00fctzlichkeit eines mathematischen Modells diskutiere ich im dritten Teil dieses Artikels.<br \/>\nZun\u00e4chst will ich mich im zweiten Teil mit Mathematik besch\u00e4ftigen.<br \/>\nWelche mathematischen R\u00e4tsel verbergen sich hinter Jonglierfolgen?<\/p>\n<h2>Teil 2. Mathematiker stellen Fragen und beweisen Antworten<\/h2>\n<p>Es gibt Jonglierfolgen, zum Beispiel <code>3<\/code>, <code>441<\/code>, <code>531<\/code> usw.<br \/>\nMit ein paar Beispielen gibt sich ein Mathematiker nicht zufrieden, sondern er m\u00f6chte die Systematik dahinter verstehen.<br \/>\nDazu stellt er typischerweise Fragen wie<\/p>\n<ol>\n<li>Ist jede Folge von Zahlen ein Jonglierfolge?<\/li>\n<li>Gibt es ein Rezept um Jonglierfolgen erzeugen?<\/li>\n<li>Haben Jonglierfolgen interessante Eigenschaften?<\/li>\n<li>Wie kann man Jonglierfolgen erkennen?<\/li>\n<li>Wie viele Jonglierfolgen gibt es?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Ich werde diese Fragen nicht ersch\u00f6pfend behandeln.<br \/>\nDa Mathematiker aber viel Zeit mit der Beantwortung solcher Fragen verbringen, m\u00f6chte ich andeuten, wie sie vorgehen und was sie dabei an Antworten erhalten.<\/p>\n<p>Ich beginne mit der ersten Frage: Ist jede Zahlenfolge eine Jonglierfolge?<br \/>\nBetrachten wir zum Beispiel die Folge <code>321<\/code>.<br \/>\nWenn diese Folge eine Jonglierfolge w\u00e4re, dann g\u00e4be es eine zugeh\u00f6rige Jonglierfunktion, die die Eigenschaften aus dem ersten Teil erf\u00fcllt.<br \/>\nIch erinnere daran, wie diese Folge interpretiert wird:<br \/>\nDer zum Zeitpunkt <code>0<\/code> geworfene Ball landet zum Zeitpunkt <code>j(0)=0+3=3<\/code>, der zum Zeitpunkt <code>1<\/code> geworfene Ball landet auch zum Zeitpunkt <code>j(1)=1+2=3<\/code> und der zum Zeitpunkt <code>2<\/code> geworfene Ball landet ebenfalls zum Zeitpunkt <code>j(2)=2+1=3<\/code>.<br \/>\nAlle drei B\u00e4lle landen also zur gleichen Zeit.<br \/>\nDas ist nicht zul\u00e4ssig!<br \/>\nOder mathematisch ausgedr\u00fcckt: Die zur Folge <code>321<\/code> geh\u00f6rende Funktion <code>j<\/code> ist nicht injektiv, also keine Jonglierfunktion.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling4.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling4.png\" alt=\"juggling4\" width=\"500\" height=\"220\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-23147\" \/><\/a><\/p>\n<p>Um Jonglierfolgen eingehender zu untersuchen braucht man eine Idee.<br \/>\nEs hat sich herausgestellt, dass die folgende Konstruktion von gro\u00dfer Bedeutung ist.<br \/>\nBetrachten wir ganz konkret  die Jonglierfolge <code>531<\/code>.<br \/>\nEs gilt <code>j(0)=0+5=5<\/code> und <code>j(1)=1+3=4<\/code>.<br \/>\nMit anderen Worten, der erste Ball landet zum Zeitpunkt <code>5<\/code>, unmittelbar nach dem zweiten Ball, der zum Zeitpunkt <code>4<\/code> gefangen wird.<br \/>\nDie Schl\u00fcsselidee ist nun die: Wirft man den ersten Ball um <code>1<\/code> niedriger (<code>j(0)=4<\/code> statt <code>5<\/code>) und den zweiten um <code>1<\/code> h\u00f6her (<code>j(1)=4<\/code> statt <code>3<\/code>), dann tauschen die beiden B\u00e4lle ihre Landezeitpunkte.<br \/>\nDamit wird die Folge <code>531<\/code> zur Folge <code>441<\/code> abge\u00e4ndert.<br \/>\nEntscheidend ist, dass man die neue Folge jonglieren kann.<br \/>\nDies wird durch den Tausch der Landezeitpunkte sichergestellt.<br \/>\nJongleure nennen diese Operation <strong>Siteswap<\/strong>.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling5.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/juggling5.png\" alt=\"juggling5\" width=\"500\" height=\"256\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-23148\" \/><\/a><\/p>\n<p>Im Allgemeinen erh\u00e4lt man folgende Formel zu Beschreibung von Siteswaps.<br \/>\nEs sei <code>a<sub>1<\/sub>a<sub>2<\/sub>...a<sub>m<\/sub><\/code> eine gegebene Jonglierfolge.<br \/>\nDer erste Ball bekommt den neuen Landezeitpunkt <code>a<sub>2<\/sub>+1<\/code>, der zweite Ball hingegen <code>a<sub>1<\/sub>-1<\/code>.<br \/>\nDie durch einen Siteswap erzeugte neue Jonglierfolge lautet dann <code>(a<sub>2<\/sub>+1)(a<sub>1<\/sub>-1)a<sub>3<\/sub>...a<sub>m<\/sub><\/code>.<\/p>\n<p>Die Idee des Siteswaps sieht zun\u00e4chst unscheinbar aus.<br \/>\nTats\u00e4chlich aber handelt es sich in diesem Fall um eine ganz zentrale Einsicht.<br \/>\nMit Hilfe von Siteswaps kann man nun einige weitere der anfangs gestellten Fragen beantworten.<\/p>\n<p>Siteswaps erm\u00f6glichen es, jede Jonglierfolge in mehreren Schritten auf eine konstante Jonglierfolge zur\u00fcckzuf\u00fchren.<br \/>\nIch f\u00fchre das am Beispiel <code>531<\/code> vor.<br \/>\nDer erste Siteswap ergibt, wie eben gezeigt, <code>441<\/code>.<br \/>\nWendet man auf <code>441<\/code> nochmal einen Siteswap an, so kommt man zur\u00fcck zu <code>531<\/code>, das hilft nicht weiter.<br \/>\nDa die Jonglierfolge periodisch ist, erh\u00e4lt man das gleiche Jongliermuster, wenn man sie  zyklisch im Kreis schiebt.<br \/>\nBei <code>441<\/code> schiebt man die erste <code>4<\/code> ans Ende und erh\u00e4lt <code>414<\/code>.<br \/>\nEin Siteswap angewandt auf <code>414<\/code> ergibt <code>234<\/code>.<br \/>\nHier verschiebt man nochmals zyklisch die <code>23<\/code> hinter die <code>4<\/code> und erh\u00e4lt <code>423<\/code>.<br \/>\nEin letzter Siteswap ergibt <code>333<\/code>, oder kurz <code>3<\/code>.<\/p>\n<p>Das allgemeine Resultat lautet<\/p>\n<hr>\n<p>Jede Jonglierfolge kann durch Anwendung von Siteswaps und zyklischen Verschiebungen in eine konstante Jonglierfolge \u00fcberf\u00fchrt werden.<\/p>\n<hr>\n<p>Dieses Verfahren hat interessante Folgerungen.<br \/>\nErstens kann man es auch umkehren.<br \/>\nBeginnt man mit einer konstanten Jonglierfolge, zum Beispiel <code>3<\/code>, so erzeugt man mit Hilfe von Siteswaps alle anderen Jonglierfolgen mit drei B\u00e4llen.<\/p>\n<p>Zweitens erkennt man bestimmte Eigenschaften von Jonglierfolgen.<br \/>\nBei einer konstanten Folge ist der Mittelwert gleich der Anzahl der jonglierten B\u00e4lle.<br \/>\nBei einem Siteswap \u00e4ndert sich weder der Mittelwert der Jonglierfolge noch die Anzahl der ben\u00f6tigten B\u00e4lle.<br \/>\nAlso ist die Anzahl der B\u00e4lle immer durch den Mittelwert gegeben.<br \/>\nIm Beispiel <code>531<\/code> ergibt sich <code>(5+3+1)\/3=3<\/code>, man ben\u00f6tigt also 3 B\u00e4lle um <code>531<\/code> zu jonglieren.<\/p>\n<hr>\n<p>In einer Jonglierfolge <code>a<sub>1<\/sub>a<sub>2<\/sub>...a<sub>m<\/sub><\/code> ist der Mittelwert <code>(a<sub>1<\/sub>+a<sub>2<\/sub>+...+a<sub>m<\/sub>)\/m<\/code> gleich der Anzahl der B\u00e4lle.<br \/>\nInsbesondere ist der Mittelwert eine ganze Zahl.<\/p>\n<hr>\n<p>Somit kann man sofort ausschlie\u00dfen, dass z.B. die Folge <code>4423<\/code> eine Jonglierfolge ist.<br \/>\nDenn ihr Mittelwert ist <code>(4+4+2+3)\/4=3.25<\/code> und <code>3.25<\/code> ist keine ganze Zahl.<\/p>\n<p>Ein ganzzahliger Mittelwert gen\u00fcgt aber noch nicht um Jonglierfolgen immer zu erkennen.<br \/>\nZum Beispiel ist <code>321<\/code> keine Jonglierfolge, obwohl sie den ganzzahligen Mittelwert <code>(3+2+1)\/3=2<\/code> hat.<br \/>\nEine genaue Analyse der Siteswaps zeigt, dass man wie folgt vorgehen kann.<br \/>\nZu einer Folge <code>a<sub>1<\/sub>a<sub>2<\/sub>...a<sub>m<\/sub><\/code> bildet man die Hilfsfolge <code>(a<sub>1<\/sub>+1)(a<sub>2<\/sub>+2)...(a<sub>m<\/sub>+m)<\/code> modulo <code>m<\/code>. Die Sprechweise \u201emodulo <code>m<\/code>\u201c bedeutet, dass man den Rest bei Division durch <code>m<\/code> ausrechnet, also z.B. <code>7 modulo 3=1<\/code>.<br \/>\nEs gilt der folgende<\/p>\n<hr>\n<p><strong>Permutationstest<\/strong>: Die Folge <code>a<sub>1<\/sub>a<sub>2<\/sub>...a<sub>m<\/sub><\/code> ist genau dann eine Jonglierfolge, wenn in der eben angegebenen Hilfsfolge jede Zahl von <code>0<\/code> bis <code>m-1<\/code> genau einmal vorkommt.<\/p>\n<hr>\n<p>Probieren wir das aus.<br \/>\nZur Jonglierfolge <code>531<\/code> berechnen wir <code>(5+1)(3+2)(1+3) = 654<\/code>.<br \/>\nSchlie\u00dflich ergibt <code>654<\/code> modulo <code>3<\/code> die Hilfsfolge <code>021<\/code>.<br \/>\nDa in der Folge <code>021<\/code> die Zahlen von <code>0<\/code> bis <code>2<\/code> je genau einmal vorkommen, besagt also obiger Test, dass <code>531<\/code> eine Jonglierfolge ist.<br \/>\nDas ist richtig!<br \/>\nBetrachten wir als zweites Beispiel <code>321<\/code>. Konstruktion der Hilfsfolge und Modulo-Rechnung ergibt <code>111<\/code>.<br \/>\nIn der Folge <code>111<\/code> kommt z.B. die Zahl <code>2<\/code> nicht vor.<br \/>\nDemzufolge ist <code>321<\/code> keine Jonglierfolge.<br \/>\nAuch das ist richtig!<\/p>\n<h2>Teil 3. Mathematiker interessieren sich nicht f\u00fcr die Realit\u00e4t &mdash; au\u00dfer sie ist interessant<\/h2>\n<p>Im zweiten Teil haben wir uns ausschlie\u00dflich mit Mathematik besch\u00e4ftigt.<br \/>\nEs ging gar nicht mehr ums Jonglieren, sondern ich habe gezeigt, wie man bestimmte Zahlenfolgen, die gewissen Regeln gehorchen, besser verstehen kann.<br \/>\nNun geht es abschlie\u00dfend um die Frage, ob aus diesem Vorgehen etwas N\u00fctzliches entstanden ist.<\/p>\n<p>Tats\u00e4chlich hat das hier vorgestellte mathematische Modell praktische Bedeutung f\u00fcr Jongleure.<br \/>\nDer erste Nutzen ist, wie im ersten Teil aufgezeigt, die M\u00f6glichkeit einer effizienten <em>Kommunikation<\/em> von Jongliermustern.<br \/>\nEs gab Fachzeitschriften f\u00fcr Jongleure schon bevor Jonglierfolgen erfunden worden waren.<br \/>\nIn ihnen wurden jedoch selten Jongliertricks erkl\u00e4rt.<br \/>\nDer Grund war die fehlende M\u00f6glichkeit einen Jongliertrick in kompakter Form schriftlich festzuhalten.<br \/>\nHeute sind Jonglierfolgen eine verbreitete Methode mit der sich Jongleure Tricks beibringen.<\/p>\n<p>Ein zweites Ergebnis des mathematischen Formalismus ist die <em>Systematik<\/em> mit der Jongliermuster erforscht werden.<br \/>\nVor der Erfindung von Jonglierfolgen waren viele Tricks und Muster bekannt.<br \/>\nEs fehlte aber die \u00dcbersicht.<br \/>\nErst durch das mathematische Modell konnte man zum Beispiel systematisch s\u00e4mtliche M\u00f6glichkeiten f\u00fcr das Jonglieren mit drei B\u00e4llen mit maximaler Wurfzeit <code>9<\/code> ausprobieren.<br \/>\nEinige der Muster waren schon lange bekannt.<br \/>\nAndere Muster stellten sich in der Praxis als neu, aber langweilig heraus.<br \/>\nUnd ein paar Muster waren eine echte Bereicherung f\u00fcr das bis dahin \u00fcbliche Jonglierrepertoire.<br \/>\nDie Mathematik war hier in der Lage Neues zu entdecken, das zuvor \u00fcbersehen worden war.<\/p>\n<p>Ein dritter Aspekt des mathematischen Zugangs zum Jonglieren ist die <em>Abstraktion<\/em>.<br \/>\nZum Beispiel spielt in der Theorie der Jonglierfolgen die Anzahl der H\u00e4nde keine Rolle.<br \/>\nEtwa kann ein Au\u00dferirdischer mit vier H\u00e4nden Jonglierfolgen ebenfalls erfolgreich zum Jonglieren nutzen.<br \/>\nIst das relevant?<br \/>\nSelbstverst\u00e4ndlich!<br \/>\nStatt einem Au\u00dferirdischen kann man auch einen Freund hinzunehmen, dann hat man zusammen vier H\u00e4nde zur Verf\u00fcgung und es macht gro\u00dfen Spa\u00df gemeinsam Jonglierfolgen auszuprobieren.<\/p>\n<p>Ein vierter Punkt ist die M\u00f6glichkeit zur <em>Verallgemeinerung<\/em>.<br \/>\nZu diesem Thema nur zwei Stichworte.<br \/>\nEs ist m\u00f6glich zwei B\u00e4lle gleichzeitig aus einer Hand zu werfen, oder mit zwei H\u00e4nden gleichzeitig zu werfen.<br \/>\nDiese beiden Vorg\u00e4nge sind unter Jongleuren als <em>Multiplex<\/em> beziehungsweise <em>Multihand<\/em> bekannt.<br \/>\nF\u00fcr beide Varianten gibt es entsprechende mathematische Beschreibungssprachen, die das im ersten Teil vorgestellte Modell erweitern.<br \/>\nSofort ergeben sich neue mathematische Fragen: Kann man die Ergebnisse aus dem zweiten Teil auch auf diese Varianten \u00fcbertragen?<\/p>\n<p>Interessante mathematische Fragestellungen m\u00fcssen sich nicht immer auf Anwendungen beziehen.<br \/>\nIn den bisher betrachteten Jonglierfolgen kommen nur Zahlen kleiner gleich 9 vor.<br \/>\nDas entspricht in etwa den praktischen M\u00f6glichkeiten eines Jongleurs.<br \/>\nNun kann man aber die Notation weiter treiben und <code>A=10<\/code>, <code>B=11<\/code>, usw. setzen.<br \/>\nEin am\u00fcsantes R\u00e4tsel ist nun, W\u00f6rter zu finden, die g\u00fcltige Jonglierfolgen beschreiben.<br \/>\nZwei Beispiele: Mit 21 B\u00e4llen kann man die Folge <code>THEOREM<\/code> jonglieren, mit 23 B\u00e4llen sogar das Wort <code>PROOF<\/code>.<br \/>\nDer Leser ist an dieser Stelle eingeladen, diese Behauptung mit dem Permutationstest aus Teil 2 zu \u00fcberpr\u00fcfen und noch weitere jonglierbare W\u00f6rter zu finden.<br \/>\nJonglieren mit 23 B\u00e4llen, das liegt au\u00dferhalb des Verm\u00f6gens menschlicher Jongleure.<br \/>\nGrob gesch\u00e4tzt m\u00fcsste man in der Jonglierfolge <code>PROOF<\/code> \u00fcber 50 Meter hoch werfen.<\/p>\n<p>Zum Abschluss noch zwei Literaturempfehlungen.<\/p>\n<ul>\n<li>Ein Buch \u00fcbers Jonglieren: <em>Charlie Dancey&#8217;s Encyclopaedia of Ball Juggling<\/em> von Charlie Dancey. Butterfingers, 1994.<\/li>\n<li>Ein Buch \u00fcber die Mathematik des Jonglierens: <em>The mathematics of juggling<\/em> von Burkard Polster. Springer, 2003.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Epilog<\/h2>\n<p>Nach der Lekt\u00fcre eines Wissenschaftsblogs darf man die Frage stellen, ob man etwas gelernt hat.<br \/>\nIn diesem Fall ist die Antwort: Nein.<br \/>\nWer vor dem Lesen weder Jonglieren noch Mathematik beherschte, kann es jetzt immer noch nicht.<br \/>\nDiese Situation ist vergleichbar mit einem Violinkonzert: Wer einem Geiger eine Stunde zugeschaut und zugeh\u00f6rt hat, kann auch danach keine Sonate spielen.<\/p>\n<p>Trotzdem hoffe ich dem Leser einen Eindruck von typischen Arbeits- und Denkweisen eines Mathematikers vermittelt zu haben.<br \/>\nDas Erschaffen abstrakter Welten mit ihren eigenen, pr\u00e4zisen Regeln, die Neugier darin Fragen zu stellen, die Grenzen der Vorstellung auszuloten, die Beharrlichkeit Antworten zu finden, sei es f\u00fcr die Anwendung oder aus reiner Freude am Verstehen, all das besch\u00e4ftigt Mathematiker.<br \/>\nBeim Jonglieren, und bei allem anderen.<\/p>\n<hr>\n<p>&copy; 2016 Andreas Geyer-Schulz<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hinweis: Dieser Artikel ist ein Beitrag zum ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb 2016. Hinweise zum Ablauf des Bewerbs und wie ihr dabei Abstimmen k\u00f6nnt findet ihr hier. Das sagt der Autor des Artikels, Andreas Geyer-Schulz \u00fcber sich: Andreas Geyer-Schulz ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Karlsruher Institut f\u00fcr Technologie. 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