{"id":23065,"date":"2016-09-16T06:00:28","date_gmt":"2016-09-16T04:00:28","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/09\/16\/komplexe-zahlen-eine-geometrische-einleitung\/"},"modified":"2025-05-14T16:17:44","modified_gmt":"2025-05-14T14:17:44","slug":"komplexe-zahlen-eine-geometrische-einleitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/09\/16\/komplexe-zahlen-eine-geometrische-einleitung\/","title":{"rendered":"Komplexe Zahlen \u2013 eine geometrische Einleitung"},"content":{"rendered":"

Hinweis: <\/b>Dieser Artikel ist ein Beitrag zum ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb 2016<\/a>. Hinweise zum Ablauf des Bewerbs und wie ihr dabei Abstimmen k\u00f6nnt findet ihr hier<\/a>.
\n\"sb-wettbewerb\"<\/a><\/i><\/p>\n

Das sagt der Autor des Artikels, „Herr Fessa“<\/b> \u00fcber sich:<\/b><\/p>\n

Ich bin Lehrer und unterrichte an der HTL Rennweg in Wien. Hin und wieder schreibe ich auf meinem eigenen Blog https:\/\/herrfessa.wordpress.com<\/a>
\n——————————————<\/p>\n

Komplexe Zahlen \u2013 eine geometrische Einleitung<\/h1>\n

Einleitung<\/h2>\n

Generell sind Zahlen etwas sehr Abstraktes. Es gibt z.B. nichts Konkretes worauf man zeigen und sagen k\u00f6nnte, das ist<\/em> die Zahl drei. Es sind immer entweder drei Menschen, drei K\u00fche, drei Autos \u2026 Entsprechend gibt es f\u00fcr die Zahl drei die verschiedensten konkreten Darstellungen, z.B. 3 oder III.<\/p>\n

Ausgehend von unseren Vorstellungen \u00fcber reelle Zahlen, werden wir im Folgenden zun\u00e4chst eine<\/em> geometrische Darstellung der reellen Zahlen betrachten und die bekannten Rechenoperationen geometrisch konstruieren. Diese Darstellung und Konstruktionen k\u00f6nnen wir dann \u00bbleicht\u00ab zur Darstellung einer neuen Menge von Zahlen erweitern \u2013 den komplexen Zahlen<\/em>.<\/p>\n

Pfeile entlang einer Geraden<\/h2>\n

Nachdem man auf einer Geraden einen Ursprung 0 (werden wir immer als kleinen Kreis einzeichnen) und eine Einheit 1 festgelegt hat, kann man reelle Zahlen von 0 weg als Pfeile auf dieser Zahlengeraden (oder reellen Achse) einzeichnen (s. Abb. 1).<\/p>\n

\"Abb01\"<\/a><\/p>\n

\"abb1\"<\/a>
\nAbb. 1: Reelle Zahlen als Pfeile auf der reellen Achse. Die Pfeile der positiven Zahlen zeigen \u00fcblicherweise nach rechts.<\/p>\n

Die Pfeile der negativen Zahlen zeigen dabei in die entgegengesetzte Richtung der entsprechenden Pfeile f\u00fcr die positiven Zahlen. Die Negation einer Zahl bedeutet also die Richtung umzudrehen.<\/p>\n

In der Zeichenebene kann man die Negation aber auch durch eine Drehung um 180\u00b0 erreichen (s. Abb. 2). Die Winkel werden immer von der positiven reellen Achse aus gemessen, und irgendwann hat man sich geeinigt, dass eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn ein vordrehen (eine positive Drehung) ist. Aus 4 wir durch so ein Vordrehen also -4 und durch ein weiteres Vordrehen -(-4) = 4, wie man es sich erwarten w\u00fcrde. Eine weitere M\u00f6glichkeit von -4 wieder zu 4 zu kommen, ist den Pfeil um 180\u00b0 zur\u00fcckzudrehen<\/em> (im Uhrzeigersinn).<\/p>\n

\"Abb02\"<\/a><\/p>\n

Abb. 2: Die Negation einer Zahl kann in der Zeichenebene auch durch ein Vordrehen um 180\u00b0 erreicht werden.<\/p>\n

K\u00f6nnen wir mit diesen Pfeilen auch rechnen, wie wir es mit den reellen Zahlen gewohnt sind? Ja, z.B. die Addition 2 + 3 = 3 + 2 = 5 (s. Abb. 3). Wir verschieben entweder den Pfeil f\u00fcr 3 parallel an das Ende des Pfeils f\u00fcr 2 oder umgekehrt. Die Summe ist dann der Pfeil vom Ursprung hin zur Spitze des verschobenen Pfeils. In beiden F\u00e4llen erhalten wir hier den Pfeil f\u00fcr 5. Bei unserer geometrischen Addition ist die Reihenfolge der Zahlen also genauso vertauschbar wie bei der rechnerischen.<\/p>\n

\"Abb03\"<\/a><\/p>\n

Abb. 3: Die Addition 2 + 3 = 3 + 2 = 5 konstruiert durch Parallelverschiebung der Pfeile.<\/p>\n

Da die Subtraktion nur eine versteckte Addition ist, k\u00f6nnen wir auf diese Art auch subtrahieren. Z.B. 2 – 4 = 2 + (-4) = -2 (s. Abb. 4). Zun\u00e4chst negieren wir den Pfeil f\u00fcr 4 und addieren ihn dann wie gehabt zu 2 dazu.<\/p>\n

\"Abb04\"<\/a><\/p>\n

Abb. 4: Die Subtraktion 2 – 4 ist dasselbe wie die Addition 2 + (-4) = -2.<\/p>\n

Die Multiplikation basiert auf einer Konstruktion von Ren\u00e9 Descartes<\/a>. Fangen wir zun\u00e4chst mit zwei positiven Zahlen an und konstruieren das Produkt 2 \u22c5 3 = 6 (s. Abb. 5). Wir zeichnen eine geneigte Gerade g<\/em> durch den Ursprung 0. Dann drehen wir den Pfeil f\u00fcr die Zahl 2 um den Ursprung auf diese Gerade und erhalten den Punkt A<\/em>. Durch diesen Punkt und die Einheit 1 auf der reellen Achse zeichnen wir die Gerade h<\/em>1<\/sub>. Diese verschieben wir jetzt parallel ans Ende des Pfeils f\u00fcr die Zahl 3 (Gerade h<\/em>2<\/sub>) und erhalten den Schnittpunkt B<\/em> mit der Geraden g<\/em>. Abschlie\u00dfend drehen wir Punkt B<\/em>zur\u00fcck auf die reelle Achse und erhalten so den Pfeil f\u00fcr das Ergebnis 6.<\/p>\n

\"Abb05\"<\/a><\/p>\n

Abb. 5: Die Multiplikation 2 \u22c5 3 = 6 nach Ren\u00e9 Descartes.<\/p>\n

Die Konstruktion funktioniert, weil die Dreiecke 01A<\/em> und 03B<\/em> \u00e4hnlich sind. Nach dem Strahlensatz gilt daher 0B<\/em> : 0A<\/em> = 3 : 1, und weil 0A<\/em> = 2 ist, ist 0B<\/em> = 2 \u22c5 3 = 6. H\u00e4tten wir 3 \u22c5 2 konstruiert, w\u00e4ren nur die Steigungen der Geraden h<\/em>1<\/sub> und h<\/em>2<\/sub> anders gewesen (0B<\/em> : 0A<\/em> = 2 : 1 und 0A<\/em> = 3). Auch in dieser Konstruktion ist wie in der Rechnung die Reihenfolge der Zahlen egal.<\/p>\n

Was, wenn man eine positive mit einer negativen Zahl multiplizieren m\u00f6chte, z.B. 2 \u22c5 (\u22123) = \u22126? Aus der Algebra wissen wir: 2 \u22c5 (\u22123) = \u2212(2 \u22c5 3). Aha! Zuerst k\u00f6nnen wir aus dem Pfeil f\u00fcr \u22123 durch Drehung um 180\u00b0 zur\u00fcck den Pfeil f\u00fcr 3 machen (s. Abb. 6). Anschlie\u00dfend multiplizieren wir die beiden Pfeile wie oben beschrieben und erhalten den Pfeil f\u00fcr 6. Dieser Pfeil muss dann wieder um 180\u00b0 vorgedreht werden, damit wir das Endergebnis \u22126 bekommen.<\/p>\n

\"Abb06\"<\/a><\/p>\n

Abb. 6: Konstruktion der Multiplikation 2 \u22c5 (-3) = -6.<\/p>\n

Wie sieht es zum Schluss mit der Multiplikation zweier negativer Zahlen wie (\u22122) \u22c5 (\u22123) = 6 aus? Rein algebraisch gilt: (\u22122) \u22c5 (\u22123) = \u2212(\u2212(2 \u22c5 3)). Zuerst drehen wir beide Pfeile um jeweils 180\u00b0 zur\u00fcck (s. Abb. 7) und multiplizieren sie wie gehabt. Weil wir aber zwei Pfeile um 180\u00b0 gedreht haben, m\u00fcssen wir das Ergebnis um 180\u00b0 f\u00fcr den ersten Pfeil vordrehen plus<\/em> noch einmal 180\u00b0 f\u00fcr den zweiten Pfeil, wodurch wir wieder ein positives Endergebnis erhalten.<\/p>\n

\"Abb07\"<\/a><\/p>\n

Abb. 7: Konstruktion der Multiplikation (-2) \u22c5 (-3) = 6.<\/p>\n

Dieses Hin- und Herdrehen bei der Multiplikation negativer Zahlen mag verwirrend sein, wird sich aber unten als Spezialfall einer allgemeineren Konstruktion erweisen.<\/p>\n

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation; wir m\u00fcssen den Konstruktionsgang also einfach genau von hinten nach vorne durchf\u00fchren. Die Division 6 : 3 = 2 ist damit schon in Abb. 5 gezeigt.<\/p>\n

Dass mit den obigen Konstruktionen auch die Assoziativit\u00e4tsgesetze a<\/em> + (b<\/em> + c<\/em>) = (a<\/em> + b<\/em>) + c<\/em> und a<\/em> \u22c5 (b<\/em> \u22c5 c<\/em>) = (a<\/em> \u22c5 b<\/em>) \u22c5 c<\/em> gelten, kann man leicht nachpr\u00fcfen. Selbiges gilt auch f\u00fcr das Distributivgesetz a<\/em> \u22c5 (b<\/em> + c<\/em>) = a<\/em> \u22c5 b<\/em> + a<\/em> \u22c5 c<\/em>, das Addition und Multiplikation verkn\u00fcpft.<\/p>\n

Da sich algebraisch alle Rechnungen mit reellen Zahlen auf diese Operationen zur\u00fcckf\u00fchren lassen, k\u00f6nnen wir folgern:<\/p>\n

Alles, was man mit reellen Zahlen berechnet, k\u00f6nnte man genauso gut durch Konstruktionen mit Pfeilen entlang der reellen Achse erhalten.<\/strong><\/p>\n

Pfeile in einer Ebene<\/h2>\n

Wenn wir uns diese Konstruktionen aber genauer ansehen, stellt sich die Frage, warum wir uns nur auf Pfeile entlang der Zahlengeraden beschr\u00e4nken sollen. Das ganze k\u00f6nnen wir doch auch f\u00fcr beliebige Pfeile machen, die von der Geraden nach oben oder unten weg zeigen. (De facto haben wir das bei der Negation als Drehung um 180\u00b0 ohnehin schon gemacht.)<\/p>\n

Dazu f\u00fcgen wir zu unserer reellen Achse eine weitere, senkrechte Achse hinzu. Aus rein historischen Gr\u00fcnden nennt man diese Achse die imagin\u00e4re Achse<\/em> (s. Abb. 8). Im Prinzip sind reelle bzw. imagin\u00e4re Achse einfach die x<\/em>– bzw. y<\/em>-Achse der Ebene, man nennt sie hier nur anders. Der Ursprung 0 ist dort, wo diese beiden Achsen sich treffen. Au\u00dferdem werden die ganzzahligen Vielfachen der Einheit 1 jetzt auch nach oben und unten aufgetragen (punktiert in Abb. 8).<\/p>\n

\"Abb08\"<\/a><\/p>\n

Abb. 8: Pfeile in der Ebene. K\u00f6nnen wir auch damit \u00bbrechnen\u00ab?<\/p>\n

Die Addition der Pfeile a<\/em><\/span> und b<\/em><\/span> erfolgt wieder durch parallel verschieben des einen Pfeils an die Spitze des anderen (s. Abb. 9). (Um die Namen dieser Pfeile von gew\u00f6hnlichen reellen Variablen zu unterscheiden, werden sie oft unterstrichen.) Das ist eine v\u00f6llig nat\u00fcrliche Erweiterung dessen, was wir entlang der Geraden gemacht haben, und die Reihenfolge der Pfeile spielt wieder keine Rolle.<\/p>\n

\"Abb09\"<\/a><\/p>\n

Abb. 9: Addition von Pfeilen in der Ebene.<\/p>\n

F\u00fcr die Multiplikation erinnern wir uns an die Multiplikation mit negativen Zahlen zur\u00fcck (s. Abb. 10). Wie dort drehen wir zuerst die beiden Pfeile um ihre jeweiligen Winkel zur\u00fcck auf die positive reelle Achse. Dort multiplizieren wir sie nach der Methode von Descartes. Schlie\u00dflich m\u00fcssen wir dieses Zwischenergebnis zun\u00e4chst um den Winkel der ersten Pfeils und<\/em> dann noch um den Winkel des zweiten Pfeils nach vor drehen. Effektiv multiplizieren wir also die L\u00e4ngen der beiden Pfeile und addieren ihre Winkel. Geometrisch handelt es sich dabei um Drehstreckungen.<\/p>\n

\"Abb10\"<\/a><\/p>\n

Abb. 10: Multiplikation von Pfeilen in der Ebene.<\/p>\n

Auch diese Konstruktion ist eine nat\u00fcrliche Erweiterung von dem, was wir mit Pfeilen entlang der reellen Achse gemacht haben.<\/p>\n

Eine interessante Folge dieser Multiplikation ergibt sich f\u00fcr den Pfeil i<\/em><\/span>, der die L\u00e4nge 1 hat und senkrecht auf die reelle Achse steht (s. Abb. 11). Multipliziert man ihn mit sich selbst (also quadriert man ihn), bleibt die L\u00e4nge 1, aber der Winkel verdoppelt sich von 90\u00b0 auf 180\u00b0. Man erh\u00e4lt also einen Pfeil, der der Zahl -1 entspricht.<\/p>\n

\"Abb11\"<\/a><\/p>\n

Abb. 11: Quadriert man den Pfeil i<\/em><\/span> (multipliziert ihn mit sich selbst), dann erh\u00e4lt man den Pfeil f\u00fcr die Zahl -1.<\/p>\n

Zusammenfassung<\/h2>\n

Zun\u00e4chst haben wir gesehen, dass man reelle Zahlen geometrisch als Pfeile entlang einer Geraden darstellen kann. Bestimmte Konstruktionen mit diesen Pfeilen f\u00fchren zu Ergebnissen, die mit der bekannten Addition und Multiplikation von reellen Zahlen \u00fcbereinstimmen. Alle diese Konstruktionen lassen sich auch auf Pfeile in der Ebene sinnvoll anwenden, d.h. man kann die Rechenregeln f\u00fcr reelle Zahlen auf Objekte erweitern, die \u00fcber die reellen Zahlen hinausgehen.<\/p>\n

Diese Pfeile in der Ebene k\u00f6nnen daher als geometrische Darstellung einer Zahlenmenge interpretiert werden, die echt gr\u00f6\u00dfer ist als die Menge der reellen Zahlen. Man nennt diese Menge aus rein historischen Gr\u00fcnden die komplexen Zahlen<\/em>. F\u00fcr tats\u00e4chliche Berechnungen muss man sich f\u00fcr diese geometrische dann wieder die eine oder andere algebraische Darstellung plus Rechenregeln der komplexen Zahlen \u00fcberlegen.<\/p>\n

Ausblick<\/h2>\n

OK, wenn wir von der Geraden in die Ebene gehen, erhalten wir mit diesen Konstruktionen neue Zahlen. Was passiert, wenn wir jetzt noch die 3. Dimension dazu nehmen (oder die 4., 5., \u2026)? F\u00fcr die Addition\/Subtraktion funktioniert die Sache genauso weiter, wie man sich das vorstellt (in mehr als 3 Dimensionen schon etwas schwierig).<\/p>\n

Bei der Multiplikation hapert es aber. Unsere Konstruktion beruht darauf, dass Negation und Drehung um 180\u00b0 dasselbe sind. In welcher Ebene sollen wir aber einen Pfeil im Raum um 180\u00b0 drehen, um minus diesen Pfeil zu bekommen? Da gibt es unendlich viele Ebenen zur Auswahl.<\/p>\n

Interessanterweise findet man bei Pfeilen in 4 Dimensionen fast so etwas wie eine Multiplikation. Nur auf die Vertauschbarkeit der Pfeile muss man verzichten. Diese Menge bilden daher keine \u00bbechten\u00ab Zahlen, und man nennt sie die Quaternionen<\/a>.<\/p>\n

In 8 Dimensionen gibt es nochmal Pfeile, die man multiplizieren kann, wenn man auch noch auf die Assoziativit\u00e4t verzichtet. Man nennt diese Menge die Oktaven<\/a> (oder auch Oktonionen).<\/p>\n

Dar\u00fcber hinaus gibt es dann nichts mehr, was sich noch wie eine Zahl multiplizieren lie\u00dfe. In diesem Sinne sind die komplexen Zahlen tats\u00e4chlich die gr\u00f6\u00dftm\u00f6gliche Zahlenmenge.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hinweis: Dieser Artikel ist ein Beitrag zum ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb 2016. Hinweise zum Ablauf des Bewerbs und wie ihr dabei Abstimmen k\u00f6nnt findet ihr hier. Das sagt der Autor des Artikels, „Herr Fessa“ \u00fcber sich: Ich bin Lehrer und unterrichte an der HTL Rennweg in Wien. Hin und wieder schreibe ich auf meinem eigenen Blog https:\/\/herrfessa.wordpress.com […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":953,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11,764],"tags":[2666,8448,302],"class_list":["post-23065","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","category-schreibwettbewerb","tag-blog-schreibwettbewerb","tag-komplexe-zahlen","tag-mathematik"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23065","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=23065"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23065\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23066,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23065\/revisions\/23066"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/953"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=23065"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=23065"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=23065"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}