{"id":22683,"date":"2016-02-23T07:00:30","date_gmt":"2016-02-23T06:00:30","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/02\/23\/einstein-im-computer-gravitationswellen-und-die-numerische-relativitaet\/"},"modified":"2025-05-14T16:16:51","modified_gmt":"2025-05-14T14:16:51","slug":"einstein-im-computer-gravitationswellen-und-die-numerische-relativitaet","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2016\/02\/23\/einstein-im-computer-gravitationswellen-und-die-numerische-relativitaet\/","title":{"rendered":"Einstein im Computer: Gravitationswellen und die Numerische Relativit\u00e4t"},"content":{"rendered":"

„Woher wei\u00df man eigentlich, dass die k\u00fcrzlich beobachteten Gravitationswellen von zwei kollidierenden schwarzen L\u00f6chern stammen?<\/i> Diese Frage wurde mir in den letzten Tagen oft gestellt und die Antwort darauf f\u00fchrt in ein ziemlich interessantes Gebiet der Physik: Die numerische Relativit\u00e4tstheorie. Es ist eine l\u00e4ngere Geschichte, aber auch eine die zu erfahren sich lohnt.<\/p>\n

\"Zwei<\/a>
Zwei schwarze L\u00f6cher verschmelzen. Aber woher wei\u00df man das? (Bild: NASA\/Ames Research Center\/C. Henze“<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Theorie vs. Experiment<\/b><\/p>\n

Es gibt ja zwei grundlegende Archetypen von Wissenschaftlern (zumindest laut den g\u00e4ngigen Klischees). Da sind einmal die genialen Theoretiker, die mit Papier und Bleistift in komplizierten Formeln revolution\u00e4re Theorien \u00fcber das Universum niederschreiben. Albert Einstein f\u00e4llt sicherlich in diese Kategorie, aber auch moderne Physiker wie Stephen Hawking geh\u00f6ren zu diesen „Theorie-Genies“. Dann gibt es aber auch noch die genialen Bastler, die die seltsamsten Maschinen bauen und mit ihren Erfindungen die Welt ver\u00e4ndern. Diese Art von Wissenschaftler findet man vor allem in den einschl\u00e4gigen Kinofilmen; zum Beispiel Doc Brown<\/i> aus „Zur\u00fcck in die Zukunft“.<\/p>\n

\"Das<\/a>
Das Genie schlechthin (Bild: Public Domain<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Die Realit\u00e4t sieht nat\u00fcrlich auch anders aus, aber im Wesentlichen ist die Trennung in die beiden Kategorien „Theoretiker“ und „Experimentatoren“ durchaus vorhanden. Beim k\u00fcrzlich erfolgten ersten direkten Nachweise von Gravitationswellen<\/a> konnte man die Rolle beider Disziplinen wunderbar beobachten. Da war nat\u00fcrlich der gro\u00dfe Theoretiker Albert Einstein selbst, von dem die Vorhersage des Ph\u00e4nomens stammt. Aber auch viele, viele Theoretiker die ihm nachfolgten und seine Relativit\u00e4tstheorie immer genauer verstanden um so immer besser zu verstehen, wie Gravitationswellen funktionieren. Aber ohne die ebenso vielen Techniker, Ingenieure und experimentellen Physiker w\u00e4re der Nachweis niemals gelungen. Eine Gro\u00dfforschungsanlage wie LIGO die an der Grenze des Mach- und Messbaren arbeitet, ben\u00f6tigt nicht nur hervorragende Theoretiker sondern eben auch erstklassige Leute, die in der Lage sind all das zu bauen. Ein Laserinterferometer mit einer Arml\u00e4nge von 4 Kilometern; Technik die im Vakuum funktioniert; Spiegel die v\u00f6llig ersch\u00fctterungsfrei aufgeh\u00e4ngt werden k\u00f6nnen, und so weiter.<\/p>\n

Der Nachweis der Gravitationswellen war ein Triumph von Theorie und<\/i> Experiment. In diesem Fall hat aber auch noch eine dritte Disziplin eine ma\u00dfgebliche Rolle gespielt, die sich nicht so einfach dem theoretischen oder experimentellen Lager zuordnen l\u00e4sst: Die Numerik.<\/p>\n

Numerische Physik oder numerische Astronomie steht gewisserma\u00dfen zwischen den beiden Lagern. Sie basiert auf der Theorie, untersucht sie aber mit anderen Methoden. Wie in der Theorie wird in der Numerik die Mathematik zur Untersuchung eingesetzt, aber die Art und Weise wie<\/i> man sie benutzt \u00e4hnelt eher der Vorgangsweise der experimentellen Physik. Es f\u00e4llt mir (erstaunlich) schwer, die Disziplin der Numerik in einem Satz zu definieren. Ich probiere am besten, es am Beispiel meiner eigenen Arbeit als Wissenschaftler zu erkl\u00e4ren. Mein Spezialgebiet ist die numerische Astronomie<\/i> oder noch spezieller: die (numerische) Himmelsmechanik. Dabei geht es um die Untersuchung der Bewegung von Himmelsk\u00f6rpern wie Planeten, Asteroiden oder Sternen. Eine rein experimentell\/beobachterischer Ansatz dieses Ph\u00e4nomens w\u00fcrde sich auf die Messung von zum Beispiel Planetenpositionen mit einem Teleskop beschr\u00e4nken. Eine rein theoretische Betrachtung w\u00fcrde sich mit den dieser Bewegung zugrunde liegenden mathematischen Gleichungen, zum Beispiel dem Newtonschen Gravitationsgesetz, besch\u00e4ftigen.<\/p>\n

N\u00e4herungsweise exakt<\/b><\/p>\n

Die Numerik liegt irgendwo dazwischen. Und gerade die Astronomie ist ein gutes Beispiel um ihren Wert zu demonstrieren. Will man die Bewegung eines Planeten per Beobachtung untersuchen, kann das dauern. Himmelsk\u00f6rper wie Uranus oder Neptun brauchen Jahrhunderte f\u00fcr einem Umlauf um die Sonne; Sterne brauchen Jahrmillionen f\u00fcr einen Umlauf um das Zentrum der Milchstra\u00dfe; Galaxien brauchen Jahrmilliarden um sich in ihren Galaxienhaufen zu bewegen, und so weiter. Alle Informationen nur durch reine Beobachtung zu erlangen ist unm\u00f6glich. Der theoretische Ansatz ist nicht viel besser. Wir kennen zwar die entsprechenden mathematischen Gleichungen, die die Bewegung von Planeten, Sternen und Galaxien beschreiben. Aber wir wissen auch, dass es unm\u00f6glich ist, diese Gleichungen exakt zu l\u00f6sen<\/a>. Was bleibt, ist die Numerik. Also Methoden, um die Gleichungen zumindest n\u00e4herungsweise<\/i> zu l\u00f6sen.<\/p>\n

„Gleichungen n\u00e4herungsweise l\u00f6sen“ klingt einfach und vielleicht so, als m\u00fcsste man sich dazu einfach nur nicht so viel M\u00fche geben. Ein bisschen schlampig sein; die Sachen schnell mal absch\u00e4tzen; sich irgendetwas ausdenken oder so… Aber das hat mich echter Numerik \u00fcberhaupt nichts zu tun! Wer das nicht glaubt, braucht sich nur mal kurz in eine Numerik-Vorlesung an der Universit\u00e4t setzen (oder ein einschl\u00e4giges Lehrbuch<\/a> betrachten). Mathematische Methoden zu finden, mit der sich Gleichungen auf eine vern\u00fcnftige<\/i> Art n\u00e4herungsweise l\u00f6sen lassen sind nicht leicht zu finden. Es geht dabei ja nicht nur darum, einen m\u00f6glichst geringen Fehler zu machen und dabei noch \u00fcber die zu erwartende Gr\u00f6\u00dfe des Fehlers Bescheid zu wissen. Das ganze soll dann auch noch anwendbar sein; die beste Methode nutzt nichts, wenn ihre Anwendung noch komplizierter ist als die normale L\u00f6sungsmethode. Es geht ja darum, etwas zu finden, was in der Praxis funktioniert!<\/p>\n

\"Ne<\/a>
Ne Linie statt ner Kurve. Kann man machen – zumindest beim Newton-Verfahren (Bild: gemeinfrei)<\/figcaption><\/figure>\n

Die numerische Mathematik existiert schon seit Jahrhunderten; schon Isaac Newton hat Verfahren entwickelt<\/a>, die heute immer noch zum Standardinventar geh\u00f6ren. Die meisten numerischen Methoden basieren auf Iterationsverfahren<\/i>. Man ersetzt die eigentlich zu l\u00f6sende Gleichung durch eine andere, die einfacher zu l\u00f6sen ist. Die L\u00f6sung der vereinfachten Gleichung wird als Ausgangspunkt f\u00fcr eine neue Gleichung verwendet, die wieder gel\u00f6st wird, und so weiter. Je l\u00e4nger man diese Iteration<\/i> treibt, desto kleiner wird der Unterschied zwischen der N\u00e4herungsl\u00f6sung und der „echten“ L\u00f6sung. Fr\u00fcher war es m\u00fchsam, all das h\u00e4ndisch zu rechnen und die nummerischen Verfahren waren notgedrungen nie so genau wie es eine exakte L\u00f6sung geworden w\u00e4re. Als es aber dann Computer gab, \u00e4nderte sich die Situation!<\/p>\n

Wenn man heute Bewegung von Himmelsk\u00f6rpern untersucht, nutzt man fast immer numerische Methoden. Es ist kein Problem mehr, die entsprechenden Gleichungen in einen Computer zu stecken und dort numerisch zu l\u00f6sen. Man kann der Bewegung von Planeten, Sternen und Galaxien f\u00fcr Jahrmilliarden folgen, wenn man Lust und entsprechend viel Computerpower hat. Das hat dazu gef\u00fchrt, dass die rein theoretische Untersuchung der Bewegungsgleichungen in der Himmelsmechanik mittlerweile in den Hintergrund gedr\u00e4ngt wurde. Es ist heute viel einfacher, mal eben schnell den Rechner anzuwerfen, wenn man eine Frage zur Bewegung von Himmelsk\u00f6rpern hat, als sich mit den Gleichungen selbst herumzuschlagen (die ja sowieso nicht l\u00f6sbar sondern nur mit der extrem kniffligen St\u00f6rungsrechnung<\/i> und anderen fiesen mathematischen Methoden halbwegs in den Griff zu kriegen sind). Nat\u00fcrlich ist es in der Realit\u00e4t nicht ganz so simpel, ein vern\u00fcnftiges Programm zu schreiben, dass in der Lage ist, die Bewegung von Himmelsk\u00f6rpern zu berechnen. Da steckt viel Arbeit drin und meistens ist so ein Programm auch nur f\u00fcr den jeweiligen Spezialfall nutzbar; genau so wie ein Versuchsaufbau in der Physik im Allgemeinen nur f\u00fcr eine spezielle Fragestellung brauchbar ist. Genauso hat auch der rein theoretische Ansatz immer noch seinen Wert – aber das jetzt genau auszuf\u00fchren w\u00fcrde jetzt zu weit f\u00fchren.<\/p>\n

\"Supercomputer!<\/a>
Supercomputer! (Bild: ESO<\/a>, CC-BY 4.0<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Einsteins fiese Gleichungen<\/b><\/p>\n

Denn eigentlich geht es ja um die numerische Relativit\u00e4t<\/i>! Und die Allgemeine Relativit\u00e4tstheorie hat das gleiche Problem wie die Himmelsmechanik; nur noch ein bisschen mehr. Die Einsteinschen Feldgleichungen<\/i> sind extrem kompliziert. Diese Gleichungen beschreiben, wie Massen die Raumzeit kr\u00fcmmen und wie sich Objekte aufgrund dieser Kr\u00fcmmung durch den Raum bewegen. Man kann sie zwar mathematisch exakt l\u00f6sen, aber nur unter sehr speziellen Bedingungen die dann ebenso spezielle F\u00e4lle beschreiben. Eigentlich will man aber die echte<\/i> Raumzeit verstehen und das ist mit einem rein theoretischen Ansatz nicht m\u00f6glich. Man muss numerische L\u00f6sungen finden und das hat sich in der Relativit\u00e4tstheorie als richtig schwierig erwiesen.<\/p>\n

\"numrelequations\"<\/a>
Fiese Gleichungen!<\/figcaption><\/figure>\n

Will man zum Beispiel wissen, was mit zwei schwarzen L\u00f6chern passiert, die einander immer n\u00e4her und kommen und irgendwann verschmelzen, steckt die Antwort auf diese Frage in den Feldgleichungen. Sie direkt zu l\u00f6sen ist aber zu schwer. Und sie numerisch zu l\u00f6sen in diesem Fall ebenso. Die Numerik wird immer dann problematisch, wenn es um Singularit\u00e4ten geht. Ein schwarzes Loch ist<\/i> eine Singularit\u00e4t, aber damit sind allgemein F\u00e4lle gemeint, in denen irgendeine Gr\u00f6\u00dfe Null oder Unendlich wird. Kollidiert zum Beispiel ein Asteroid mit einem Planeten, ist der Abstand zwischen beiden zum Zeitpunkt der Kollision gleich Null. Die Gravitationskraft zwischen ihnen berechnet sich laut Newton aus dem Kehrwert des Abstands und durch Null dividiert es sich eben sehr schlecht. In der Himmelsmechanik hat man Wege gefunden, damit umzugehen und es ist auch nicht so kritisch, wenn man nicht bis exakt<\/i> zum Kollisionszeitpunkt rechnen kann. Ein Asteroid, der 5 Meter vor der Erdoberfl\u00e4che steht wird nicht auf einmal umkehren und wieder wegfliegen…<\/p>\n

Aber bei zwei schwarzen L\u00f6chern sind es gerade<\/i> diese letzten Momente, die kritisch sind und wo die Dinge passieren, die wir verstehen wollen. Und bis man hier die passenden numerischen Methoden entwickelt hat, hat es \u00fcberraschend lange gedauert. Erste Versuche, die Relativit\u00e4tstheorie numerisch zu fassen, gab es schon in den 1960er Jahren<\/a>. Damals war aber noch nicht mal wirklich klar, was schwarze L\u00f6cher \u00fcberhaupt sind und Computer gab es in der heutigen Form ebenfalls noch nicht. Erst in den 1980er Jahren gab es Fortschritte – aber damals konnte man nur sehr spezielle F\u00e4lle untersuchen, in denen die Konfiguration der Begegnung schwarzer L\u00f6cher enorm symmetrisch war und nicht unbedingt dem entsprach, was in der Natur erwartet wird. In den n\u00e4chsten Jahren entwickelte man dann verschiedene neue Ans\u00e4tze, von denen man sich Erfolg versprach. Zum Beispiel die „Excision“<\/i>: Dabei wird der st\u00f6rende Teil, also die Singularit\u00e4t quasi aus der Simulation „herausgeschnitten“. Da alles was hinter dem Ereignishorizont stattfindet sowieso keinen Einfluss auf den Rest haben kann, kann man es eigentlich auch ignorieren. Auch das klingt einfacher als es ist und es hat gedauert, bis man das so hinbekam, um vern\u00fcnftige L\u00f6sungen zu erhalten. Ein anderer Ansatz, „Punctures“ genannt, ersetzt die urspr\u00fcnglichen Gleichungen durch einen rein mathematisch leicht zu l\u00f6senden Teil, der die Singularit\u00e4t enth\u00e4lt und einen Teil, der numerisch gel\u00f6st wird. Das hat aber nur funktioniert, wenn sich die Singularit\u00e4t nicht bewegt – was sie in der Realit\u00e4t bei der Kollision zweier schwarzer aber tut.<\/p>\n

\"pretorius\"<\/a>
Endlich!<\/figcaption><\/figure>\n

Es hat bis ins Jahr 2005 gedauert, bevor der s\u00fcdafrikanische Physiker Frans Pretorius<\/a> eine Methode entwickelt hatte, mit der sich die komplette Kollision und Verschmelzung zweier schwarzer L\u00f6cher numerisch am Computer darstellen lie\u00df („Evolution of Binary Black Hole Spacetimes“<\/a>). Er nutzte daf\u00fcr eine Weiterentwicklung der Excision-Methode; nur wenige Monate sp\u00e4ter gelang es unabh\u00e4ngig zwei anderen internationalen Forschungsgruppen, auch die Punctures so anzuwenden, dass sie brauchbare Ergebnisse lieferten (Accurate Evolutions of Orbiting Black-Hole Binaries Without Excision“<\/a>, „Gravitational wave extraction from an inspiraling configuration of merging black holes“<\/a>).<\/p>\n

Numerische Vorhersagen!<\/b><\/p>\n

Jetzt<\/i> war es m\u00f6glich, genaue Vorhersagen der Gravitationswellen zu machen, die bei so einem Ereignis frei werden. Ohne diese Entwicklung w\u00e4re die k\u00fcrzlich erfolgte Entdeckung am LIGO-Observatorium nicht m\u00f6glich gewesen. Beziehungsweise: Sie w\u00e4re viel schwieriger gewesen. Denn es war ja Zufall, dass man gerade die Verschmelzung zweier schwarzer L\u00f6cher als erstes beobachtet hat. Es h\u00e4tte auch irgendein anderes Ereignis sein k\u00f6nnen; zum Beispiel die Gravitationswellen einer Supernovaexplosion. Diese Wellen sind aber lang nicht so eindeutig vorhersagbar. Eine Supernova ist ein komplexes Ereignis, dessen exakter Verlauf immer noch nicht verstanden ist und es gibt auch keine exakten mathematischen Gleichungen die ihn beschreiben. Schwarze L\u00f6cher sind aber – rein mathematisch gesehen – recht simple Objekte. Sie haben eine Masse, einen Drehimpuls und eine elektrische Ladung und das war es auch schon wieder. Mehr Eigenschaften haben sie nicht und als man es dann geschafft hatte, die Feldgleichungen f\u00fcr diesen Fall numerisch zu l\u00f6sen, konnte man sehr klare und eindeutige Vorhersagen machen.<\/p>\n

Als man bei LIGO dann Signale registrierte, die genau diesen klaren und eindeutigen Vorhersagen entsprochen haben, war die Interpretation nicht schwer. Das, was LIGO beobachtet hatte, waren zwei schwarze L\u00f6cher, die miteinander kollidierten und dann verschmolzen. Und man konnte das deswegen so genau sagen, weil knapp 10 Jahre zuvor Numeriker herausgefunden hatten, wie man die Einsteinschen Feldgleichungen f\u00fcr solche F\u00e4lle am Computer l\u00f6sen kann.<\/p>\n

\"Genau<\/a>
Genau so wie vorhergesagt: Die Beobachtung von Gravitationswellen bei LIGO (Bild: Abbott et al, 2016<\/a>, CC-BY 3.0<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Wer mehr (und im mathematischen Detail) \u00fcber die Geschichte der numerischen Relativit\u00e4tstheorie Bescheid wissen, dem kann ich den Artikel „The numerical relativity breakthrough for binary black holes“<\/a> von Ulrich Sperhake empfehlen.<\/p>\n

Und wenn man diese ganze Entwicklung ber\u00fccksichtigt, dann versteht man auch, wieso Albert Einstein vor knapp 100 Jahren so fest davon \u00fcberzeugt war, dass niemand je Gravitationswellen nachweisen w\u00fcrde k\u00f6nnen. Supercomputer und die entsprechende numerische Methoden gab es damals noch nicht und selbst Vision\u00e4re wie Einstein h\u00e4tten sie wohl nur schwer voraus sehen k\u00f6nnen. Von all den anderen technischen n\u00f6tigen Fortschritten wie beispielsweise dem Laser mal ganz abgesehen…<\/p>\n

Der Nachweis der Gravitationswellen war eine Gemeinschaftsleistung von Theorie und Experiment. Und der Numerik! Die steht zwar oft im Schatten der \u00e4lteren wissenschaftlichen Disziplinen – gerade in diesem Fall lohnt es sich aber, sich genauer mit ihr zu besch\u00e4ftigen.
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„Woher wei\u00df man eigentlich, dass die k\u00fcrzlich beobachteten Gravitationswellen von zwei kollidierenden schwarzen L\u00f6chern stammen? Diese Frage wurde mir in den letzten Tagen oft gestellt und die Antwort darauf f\u00fchrt in ein ziemlich interessantes Gebiet der Physik: Die numerische Relativit\u00e4tstheorie. Es ist eine l\u00e4ngere Geschichte, aber auch eine die zu erfahren sich lohnt. Theorie vs. […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":15611,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[2621,4344,4816,5370,6120,66,9049,10391,10605,10818,10821,10822,11932,13008],"class_list":["post-22683","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","tag-black-hole-merger","tag-einsteinsche-feldgleichungen","tag-excision","tag-frans-pretorius","tag-gravitationswellen","tag-himmelsmechanik","tag-ligo","tag-naeherungsloesung","tag-newton-verfahren","tag-numerik","tag-numerische-mathematik","tag-numerische-relativitaet","tag-punctures","tag-schwarze-locher"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22683","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=22683"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22683\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":22684,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22683\/revisions\/22684"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/15611"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=22683"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=22683"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=22683"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}