{"id":22180,"date":"2014-09-26T11:30:48","date_gmt":"2014-09-26T09:30:48","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/09\/26\/will-hunting-und-die-graphentheorie\/"},"modified":"2025-05-14T16:15:22","modified_gmt":"2025-05-14T14:15:22","slug":"will-hunting-und-die-graphentheorie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/09\/26\/will-hunting-und-die-graphentheorie\/","title":{"rendered":"Will Hunting und die Graphentheorie"},"content":{"rendered":"

Dieser Gastartikel ist ein Beitrag zum ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb<\/a>. Alle eingereichten Beitr\u00e4ge werden im Lauf des Septembers hier im Blog vorgestellt. Danach werden sie von einer Jury bewertet. Aber auch alle Leserinnen und Leser k\u00f6nnen mitmachen. Wie ihr eure Wertung abgeben k\u00f6nnt, erfahrt ihr hier<\/a>.<\/i><\/p>\n

\"sb-wettbewerb\"<\/a><\/p>\n

Dieser Beitrag wurde von Lukas Prader<\/b> eingereicht.<\/i>
\n———————————————————————————————————————–
\nWill Hunting und die Graphentheorie<\/p>\n

Ich schalte den Fernseher an, \u00f6ffne den Teletext \u2013 und da lese ich es! Robin Williams ist tot. Kaum zu glauben! Unendlich schade um diesen brillanten Schauspieler mit seinen abwechslungsreichen Rollen.
\nOffenbar versuchten auch die Fernsehsender, den Tod des Stars aufzuarbeiten. Kurzerhand disponierten sie ihre Abendprogramme um \u2013 und so wurde bestimmt jeden Tag irgendwo ein Robin-Williams-Film gezeigt.<\/p>\n

Als (angehender) Mathematiker hat mich nat\u00fcrlich einer davon ganz besonders interessiert: Good Will Hunting. Williams verk\u00f6rpert darin die Rolle des Psychologen Sean Maguire, f\u00fcr die er mit einem Oskar ausgezeichnet wurde. Im Film geht es aber vor allem um das Aufeinandertreffen zweier scheinbar gegens\u00e4tzlicher Menschen: Auf der einen Seite der Hausmeister Will Hunting, auf der anderen der MIT-Professor Gerald Lambeau, der gar ein Empf\u00e4nger der \u00fcberaus renommierten Fields-Medaille (quasi des \u201eMathematik-Nobelpreises\u201c) ist. Lambeau interessiert sich sehr f\u00fcr Will \u2013 warum, m\u00f6gen Sie fragen. Wie kann ein Hausmeister einen Mathematiker begeistern? Ganz einfach: Mit Mathematik! Will entpuppt sich als wahres Mathematikgenie und letztlich muss Lambeau sogar gestehen, dass er Will in seinem eigenen Fach eindeutig unterlegen ist. Wahrscheinlich halten das viele Leute f\u00fcr Fiktion, was es allerdings nicht ist! Mathematische Wunderkinder (oder eben Wundererwachsene wie Will), die aus dem Nichts auftauchen und mit den \u201eechten\u201c Mathematikern konkurrieren, sind zwar nicht h\u00e4ufig, aber es gibt sie tats\u00e4chlich. Der indische Buchhalter Srinivasa Ramanujan, der mit seinen Briefen die britische Mathematikelite begeisterte, ist das wohl bekannteste Beispiel f\u00fcr einen Will Hunting des wahren Lebens.<\/p>\n

Auch im Film ist es so, dass Professor Lambeau eher durch Zufall auf Wills Talent aufmerksam wird: Er erwischt ihn dabei, wie er ein R\u00e4tsel auf einer Gangtafel (v\u00f6llig korrekt) l\u00f6st, das f\u00fcr seine Studenten bestimmt war. Zwei Jahre lang h\u00e4tten die MIT-Professoren f\u00fcr die L\u00f6sung gebraucht, gesteht er in einer Vorlesung. Dementsprechend entsetzt ist er nat\u00fcrlich, als er erkennt, wie m\u00fchelos Will damit fertig wird. Tats\u00e4chlich handelt es sich dabei aber um ein R\u00e4tsel, das jeder von uns verstehen und l\u00f6sen kann \u2013 und das werden wir im Laufe dieses Textes auch tun! Zugegeben: Die Aufgabenstellung ist das einzig Komplizierte am ganzen R\u00e4tsel. Die L\u00f6sung ist weitaus leichter. Versprochen! Ich haue die Angabe jetzt ganz einfach raus \u2013 danach gehen wir sie Wort f\u00fcr Wort durch und l\u00f6sen das R\u00e4tsel. Also nicht schrecken! Abgemacht? \u2013 Na dann: <\/p>\n

\u201eFinden Sie alle nicht-isomorphen, hom\u00f6omorph irreduziblen B\u00e4ume vom Grad zehn.\u201c <\/p>\n

Ich nehme an, Sie haben bereits alles verstanden. Dann k\u00f6nnen wir ja fortfahren \u2026 Haha, jetzt habe ich mir mit Ihnen einen Spa\u00df erlaubt \u2013 wird nicht wieder vorkommen. Als ich das zum ersten Mal gelesen habe, habe ich auch nur Bahnhof verstanden. Das R\u00e4tsel wird uns tief in die Graphentheorie f\u00fchren \u2013 eine mathematische Teildisziplin, die sich mit ganz speziellen Strukturen befasst. Um herauszufinden, was genau ein solcher Graph ist und wof\u00fcr man sie braucht, unternehmen wir eine kleine Zeitreise ins 18. Jahrhundert: <\/p>\n

Das preu\u00dfische K\u00f6nigsberg \u2026 Eine Stadt mit einer langen Geschichte. Der Fluss Pregel durchzieht das Stadtzentrum. Erst zweigeteilt vereinigen sich hier die Flussarme, schlie\u00dfen eine Insel ein (den Kneiphof) und vereinigen sich anschlie\u00dfend wieder. Reihenh\u00e4user zieren die Ufer, auf dem Wasser tummeln sich Schiffe und zahlreiche Enten. Ein gro\u00dfer Dom auf dem Kneiphof \u00fcberragt die Reihenh\u00e4user. Um alle Stadtteile bequem erreichen zu k\u00f6nnen, wurden sieben Br\u00fccken errichtet (siehe dazu die Karte unten). Sie sind er Gegenstand einer Frage, die die Bewohner er Stadt seit jeher qu\u00e4lt, aber nach wie vor unbeantwortet ist: Kann man auf einen Stadtspaziergang jede der sieben Br\u00fccken genau einmal \u00fcberqueren? Genau einmal \u2013 das bedeutet, man darf weder eine Br\u00fccke auslassen noch zweimal oder gar \u00f6fter \u00fcber sie flanieren. Wie kann man so eine Frage \u00fcberhaupt angehen? Die K\u00f6nigsberger spazieren und spazieren, sitzen vor ihren Landkarten \u2026 Es gelingt ihnen einfach nicht, eine Route zu finden.<\/p>\n

Zur\u00fcck in die Gegenwart: Um die L\u00f6sungssuche voranzutreiben, wandte sich der damalige B\u00fcrgermeister der Stadt Danzig an den Schweizer Mathematiker Leonard Euler. Bald erkannte dieser, dass das Stadtzentrum vom Fluss in vier Teile zerschnitten wird. So bezeichnete er auf einer Skizze jeden Stadtteil mit einem Buchstaben und zeichnete die Br\u00fccken als Striche zwischen den einzelnen Buchstaben ein. Was er erhielt, gilt als der allererste Graph \u2013 und damit war das die Geburtsstunde der Graphentheorie.<\/p>\n

\"Die<\/a>
Die Stadt K\u00f6nigsberg und Eulers Graph<\/figcaption><\/figure>\n

Ein Graph \u2013 das sind Punkte (in unserem Fall die Stadtteile), die durch Striche (Br\u00fccken) miteinander verbunden sind. Alle Punkte eines Graphen m\u00fcssen irgendwie zusammenh\u00e4ngen \u2013 das ist eine Regel. Es darf quasi keine Stadtteile geben, die f\u00fcr die Fu\u00dfg\u00e4nger unerreichbar sind. Das macht auch Sinn; au\u00dfer man baut extra einen Hafen, um eine Br\u00fccke zu vermeiden \u2026 Eine zweite Regel besagt, dass sich zwei Striche nicht kreuzen d\u00fcrfen \u2013 au\u00dfer nat\u00fcrlich in einem Punkt. Wenn sich also zwei Striche treffen, muss dort demnach auf jeden Fall ein Punkt sein.<\/p>\n

Mit seinem Graphen konnte Euler in einer Arbeit aus dem Jahre 1736 erkl\u00e4ren, warum alle Bem\u00fchungen der K\u00f6nigsberger vergeblich waren und auch vergeblich bleiben w\u00fcrden: Einen solchen Spaziergang konnte es gar nicht geben! Nat\u00fcrlich behauptete er das nicht, ohne es rigoros zu untermauern: Ein Spaziergang w\u00e4re genau dann m\u00f6glich, schrieb er, wenn h\u00f6chstens zwei Punkte mit einer ungeraden Zahl von Strichen verkn\u00fcpft w\u00e4ren (die restlichen mit einer geraden Zahl von Strichen). In K\u00f6nigsberg ist das jedoch nicht der Fall, da kein einziger der Stadtteile A, B, C oder D mit einer geraden Anzahl an Br\u00fccken verbunden ist. Wer sich gerne noch weiterhin mit dem \u201eK\u00f6nigsberger Br\u00fcckenproblem\u201c besch\u00e4ftigen m\u00f6chte, k\u00f6nnte eine Karte des heutigen K\u00f6nigsbergs betrachten: Zwei Br\u00fccken des Stadtzentrums wurden im Zweiten Weltkrieg zerst\u00f6rt. Ist dadurch vielleicht ein Spaziergang m\u00f6glich geworden?<\/p>\n

Jetzt aber zur\u00fcck zum R\u00e4tsel: Es geht also darum, ganz spezielle B\u00e4ume zu zeichnen. Nat\u00fcrlich keine Buchen, Tannen oder Flaumeichen, sondern \u201emathematische\u201c B\u00e4ume. Das sind Graphen, in denen es keine Kreise gibt. Was bedeutet das? \u2013 Sehen wir uns noch einmal Eulers Graph an: Wir k\u00f6nnen vom Punkt A zu Punkt C spazieren, von Punkt C zu Punkt B, und kommen (\u00fcber einen der beiden Striche) von B nach A zur\u00fcck. Wir sind also zu unserem Startpunkt zur\u00fcckgekehrt, ohne irgendwo \u201er\u00fcckw\u00e4rts gehen\u201c zu m\u00fcssen. Wenn man das kann, muss es offensichtlich einen Kreis im Graphen geben. Eulers Graph ist folglich kein Baum, sehr wohl aber die drei Graphen in diesem Bild:<\/p>\n

\"So<\/a>
So sehen mathematische B\u00e4ume aus<\/figcaption><\/figure>\n

Die B\u00e4ume in unserem R\u00e4tsel sollen zudem vom Grad 10 sein. Das bedeutet, dass die B\u00e4ume aus genau 10 Punkten bestehen m\u00fcssen \u2013 nicht aus mehr und nicht aus weniger. Ein Beispiel: Baum a und Baum b sind vom Grad 7, Baum c vom Grad 8.
\nAu\u00dferdem sollen die B\u00e4ume hom\u00f6omorph irreduzibel sein. In unserem Fall bedeutet das ganz einfach, dass ein Punkt nicht mit genau zwei anderen Punkten verbunden sein darf. Warum das eine sinnvolle Einschr\u00e4nkung ist, sehen wir an Baum c: Achten wir auf den gr\u00fcnen Punkt! Im Grunde ist er ja vollkommen unn\u00f6tig. Man m\u00fcsste den Strich dort nicht unterbrechen, da ihn weder ein anderer Strich kreuzt noch ein Strich von ihm abzweigt. Um diesen Baum hom\u00f6omorph irreduzibel zu machen, muss also der gr\u00fcne Punkt entfernt werden (was uns geradewegs zu Baum a f\u00fchrt). Mit dieser Regelung bekommt man auch das \u201ePunkte-Schinden\u201c in den Griff. Denn dort, wo der gr\u00fcne Punkt ist, k\u00f6nnte man im Prinzip so viele Punkte zeichnen, wie man m\u00f6chte \u2013 ob das jetzt zwei sind, oder 10, oder 100, w\u00e4re ganz dem Zeichner \u00fcberlassen. <\/p>\n

Da f\u00e4llt mir ein: Mathematische B\u00e4ume haben tats\u00e4chlich eine Gemeinsamkeit mit den B\u00e4umen in der Natur. \u2013 Nein, es gibt keine Nationalparks, in denen wir sie nicht anr\u00fchren d\u00fcrfen. (W\u00e4re auch sinnlos: Wenn wir einen mathematischen Baum \u201ef\u00e4llen\u201c, k\u00f6nnten wir ihn mit Zettel und Stift wieder zum Leben erwecken.) Die Gemeinsamkeit ist, dass mathematische B\u00e4ume auch Bl\u00e4tter tragen. So werden Punkte genannt, die mit nur einem anderen Punkt verbunden sind.
\nZum Abschluss muss noch gekl\u00e4rt werden, was nicht-isomorph hei\u00dft. Am besten kann man das anhand von Baum a und Baum b erkl\u00e4ren: Wenn ich das \u00e4u\u00dferst rechte Blatt von Baum b in Pfeilrichtung verbiege, sieht Baum b exakt gleich aus wie Baum a (man sagt: sie haben dieselbe Struktur). Dabei wird deutlich: Man kann aus einem Baum viele unterschiedliche B\u00e4ume erzeugen, indem man etwa einzelne Striche streckt oder verdreht, den ganzen Baum spiegelt oder kippt, etc. Alle B\u00e4ume, die auf diese Weise entstehen k\u00f6nnen, nennt man isomorph. Weil im R\u00e4tsel aber ausdr\u00fccklich nicht-isomorphe B\u00e4ume gefordert werden, bedeutet das, dass immer nur ein Baum (stellvertretend f\u00fcr all seine isomorphen Kollegen) gez\u00e4hlt wird. Baum a und Baum b w\u00fcrden im R\u00e4tsel quasi auch nur als ein einziger Baum gelten.<\/p>\n

Bevor wir gleich loslegen, noch einmal die Regeln im \u00dcberblick:
\n– Der Graph darf keine Kreise enthalten.
\n– Es m\u00fcssen 10 Punkte verwendet werden.
\n– Ein Punkt darf nicht mit genau zwei anderen Punkten verbunden sein.
\n– Zwei B\u00e4ume d\u00fcrfen nicht isomorph sein. <\/p>\n

Eine Frage bleibt uns aber noch: Wie gehen wir die Suche am geschicktesten an? Wenn wir uns in diesem f\u00f6rmlichen Wald von B\u00e4umen zurechtfinden wollen, brauchen wir auf jeden Fall eine zuverl\u00e4ssige Landkarte, die uns zum Ziel f\u00fchrt. Ich habe mir dazu Folgendes \u00fcberlegt:
\nAls erstes werden wir immer eine Kette bilden. Erst besteht sie nur aus einem Punkt (ist dann eigentlich keine Kette, aber egal), dann aus zwei Punkten, dann aus dreien, und immer so weiter. Sie wird quasi der \u201eStamm\u201c unseres Baumes sein. Die restlichen Punkte verteilen wir dann als Bl\u00e4tter auf jene Stammpunkte.
\nBeginnen wir mit dem einfachsten Baum: Wie sieht der aus? \u2013 Ganz einfach: Ein Punkt kommt in die Mitte (die ber\u00fcchtigte Ein-Punkt-Kette), die verbleibenden neun h\u00e4ngen wir als Bl\u00e4tter an. So haben wir schon unseren ersten Baum, beziehungsweise unsere erste Schneeflocke (zumindest erinnert mich dieser Baum immer an eine).<\/p>\n

Als n\u00e4chstes ist der Stamm eine Zweierkette, die restlichen acht Punkte werden wieder verteilt. Eine kurze Zwischenfrage: Wie viele Bl\u00e4tter m\u00fcssen wir jedem dieser Punkte mindestens zuordnen? \u2013 Zwei! Eines alleine w\u00fcrde nicht reichen \u2013 dann w\u00e4re der Punkt n\u00e4mlich mit genau zwei anderen Punkten verbunden (dem Blatt und dem anderen Punkt). Das ist aber verboten! Welche M\u00f6glichkeiten haben wir also zur Verteilung der Bl\u00e4tter? \u2013 6 und 2 \u2026 5 und 3 \u2026 4 und 4. Jetzt aber Achtung: \u201e3 und 5\u201c ist dasselbe wie \u201e5 und 3\u201c, nur ist der Baum (um 180\u00b0) verdreht. Deswegen z\u00e4hlen sie nur als ein Baum \u2013 das Gleiche gilt auch f\u00fcr \u201e2 und 6\u201c und \u201e6 und 2\u201c. Das f\u00fchrt uns zu unseren ersten vier B\u00e4umen. Spoiler-Alarm: Gleich ist Halbzeit. <\/p>\n

\"B\u00e4ume<\/a>
B\u00e4ume mit Einer- oder Zweier-Kette<\/figcaption><\/figure>\n

Wie geht es jetzt weiter? \u2013 Genau: Eine Dreierkette als Stamm, sieben Bl\u00e4tter m\u00fcssen verteilt werden. Aber bevor wir uns die M\u00fche machen und alle m\u00f6glichen Kombinationen einzeln durchgehen (4 und 1 und 2 \u2026 3 und 2 und 2 \u2026 etc.), wenden wir einen kleinen Trick an: Dem mittlere Stammpunkt geben wir seine Bl\u00e4tter zuerst. Wir beginnen mit einem Blatt, dann bekommt er zwei, dann drei, und so weiter. Dass Au\u00dfenpunkte mindestens zwei Bl\u00e4tter brauchen, haben wir vorher schon erkannt. Wie sieht es mit dem mittleren Punkt aus? \u2013 Na ja, eines braucht er unbedingt, ansonsten w\u00fcrde er gegen die 2-Verbindungen-Regel versto\u00dfen (die benachbarten Stammpunkte). Weil dieses eine Blatt aber schon reichen w\u00fcrde, k\u00f6nnen wir folgern: Er braucht mindestens ein Blatt. Das bekommt er \u2013 es bleiben sechs Bl\u00e4tter f\u00fcr die \u00e4u\u00dferen Stammpunkte. M\u00f6gliche Aufteilungen: 4 (und 1) und 2 \u2026 3 (und 1) und 3. Nun geben wir dem mittleren Stammpunkt zwei Bl\u00e4tter. Wie verteilen wir die restlichen? \u2013 3 (und 2) und 2. Mehr M\u00f6glichkeiten haben wir gar nicht. Als n\u00e4chstes drei Bl\u00e4tter in die Mitte. \u2013 Wieder gibt es nur eine M\u00f6glichkeit: 2 (und 3) und 2.<\/p>\n

K\u00f6nnen wir vier Bl\u00e4tter in die Mitte geben? Dann w\u00fcrden immerhin noch drei Bl\u00e4tter f\u00fcr die Au\u00dfenpunkte \u00fcbrig bleiben. Aber wir wissen, dass jeder Au\u00dfenpunkt zwei Bl\u00e4tter ben\u00f6tigt \u2013 mindestens! Das geht sich nicht aus \u2013 wir k\u00f6nnen also nicht mehr drei Bl\u00e4tter an den mittleren Stammpunkt h\u00e4ngen.<\/p>\n

W\u00fcrden wir jetzt fortfahren, dann w\u00fcrde uns ein Baum mit Dreierkette entgehen! Wie kann das denn sein? Sehen wir uns noch einmal den vorigen Baum (Verteilung 2 und 3 und 2) an: Die 3 Punkte am mittleren Stammpunkt verwenden wir allesamt als Bl\u00e4tter. Es spr\u00e4che aber nichts dagegen, nur einen der Punkte direkt an den Stammpunkt anzuschlie\u00dfen (im Bild unten habe ich ihn grau dargestellt) und ihm dann die zwei bleibenden Bl\u00e4tter anzuh\u00e4ngen. Auf diese Weise erhalten wir schlie\u00dflich unseren neunten (zugegeben recht schwierig zu findenden) Baum.<\/p>\n

Keine Frage, wie es jetzt weitergeht: Eine Viererkette bildet den Stamm, daher gibt es diesmal zwei \u00e4u\u00dfere und zwei innere Stammpunkte. Da jeder \u00e4u\u00dfere Stammpunkt mindestens zwei Bl\u00e4tter ben\u00f6tigt und jeder innere mindestens einen, geht es sich exakt aus mit unseren sechs Bl\u00e4ttern. Es gibt also nur eine M\u00f6glichkeit \u2013 (2 und 1 und 1 und 2) \u2013 und die ist nicht wirklich verzwickt zu finden. Damit sind es schon 10 B\u00e4ume: <\/p>\n

\"B\u00e4ume<\/a>
B\u00e4ume mit Dreier- oder Vierer-Kette<\/figcaption><\/figure>\n

Was passiert, wenn unsere Stammkette aus noch mehr als nur vier Punkten besteht? Probieren wir es einfach einmal mit f\u00fcnf aus: In dem Fall gibt es zwei \u00e4u\u00dfere und drei innere Stammpunkte, was bedeutet: Wir ben\u00f6tigen sieben Bl\u00e4tter. Die haben wir aber nicht \u2013 uns bleiben ja nur mehr f\u00fcnf St\u00fcck \u00fcbrig. Mit noch l\u00e4ngeren Stammketten brauchen wir es dann gar nicht erst versuchen: Es bleibt also bei unseren 10 nicht-isomorphen, hom\u00f6omorph irreduziblen B\u00e4umen vom Grad 10. (Anmerkung: Es ist Zufall, dass es genau 10 B\u00e4ume vom Grad 10 gibt. Es existieren beispielsweise 5 solche B\u00e4ume vom Grad 9 und 14 B\u00e4ume vom Grad 11.)<\/p>\n

Bleiben wir aber realistisch: Echte MIT-Professoren h\u00e4tten dieses R\u00e4tsel mit Sicherheit noch schneller gel\u00f6st als wir gerade eben. Daniel Kleitman, der mathematische Berater des Films, hat sich da offensichtlich einen Spa\u00df mit seinem Publikum erlaubt. Die Figuren, die Will an die Tafel kritzelt, wirken eindrucksvoll und komplex und lassen das Publikum darum an den teuflischen Schwierigkeitsgrad der Aufgabe glauben. <\/p>\n

Uns wird also ein leichtes R\u00e4tsel als \u00e4u\u00dferst schwer verkauft. Aber mal ehrlich: Es war die einzige M\u00f6glichkeit! Wie viele mathematische R\u00e4tsel gibt es denn, an denen MIT-Professoren zwei Jahre lang zu knabbern h\u00e4tten, die sich aber recht anschaulich auf einer Gangtafel l\u00f6sen lassen? Wenn es \u00fcberhaupt solche R\u00e4tsel gibt \u2013 ich bezweifle es \u2013 dann sind sie unglaublich schwer zu finden. <\/p>\n

Jedenfalls ist es ein hochinteressantes Thema, das uns \u201eGood Will Hunting\u201c n\u00e4herbringt. Einerseits haben wir so die Graphentheorie kennengelernt \u2013 ein Teilgebiet der Mathematik, dem wir jeden Tag begegnen, auch wenn wir es nicht unbedingt merken: Jede Stra\u00dfenkarte, jeder U-Bahn-Plan basiert auf den Ideen, die Leonard Euler schon vor rund 300 Jahren hatte. Und andererseits haben wir dieses R\u00e4tsel gel\u00f6st \u2013 ein R\u00e4tsel f\u00fcr Jedermann und f\u00fcr \u00fcberall, wo man Zettel und Stift zur Hand hat. Einem Ph\u00e4nomen, das in der Mathematik generell h\u00e4ufig ist, begegnet man auch hier: Nur weil etwas wahnsinnig kompliziert klingt, hei\u00dft das nicht, dass es sich nicht doch als einfach herausstellen kann.<\/p>\n

Wen jetzt jedenfalls die Begeisterung \u00fcbermannt hat, kann die n\u00e4chsten H\u00fcrden auf sich nehmen: Grad 11, Grad 12, etc. Wer aber die infernale Herausforderung sucht, kann sich dem Grad 3 widmen. Warum? \u2013 Sehen Sie selbst!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dieser Gastartikel ist ein Beitrag zum ScienceBlogs Blog-Schreibwettbewerb. Alle eingereichten Beitr\u00e4ge werden im Lauf des Septembers hier im Blog vorgestellt. Danach werden sie von einer Jury bewertet. Aber auch alle Leserinnen und Leser k\u00f6nnen mitmachen. Wie ihr eure Wertung abgeben k\u00f6nnt, erfahrt ihr hier. Dieser Beitrag wurde von Lukas Prader eingereicht. ———————————————————————————————————————– Will Hunting und […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":953,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11,764],"tags":[2666,6099],"class_list":["post-22180","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","category-schreibwettbewerb","tag-blog-schreibwettbewerb","tag-graphentheorie"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22180","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=22180"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22180\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":22181,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22180\/revisions\/22181"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/953"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=22180"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=22180"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=22180"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}