{"id":21360,"date":"2014-01-22T10:36:02","date_gmt":"2014-01-22T09:36:02","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/22\/die-summe-aller-natuerlichen-zahlen-und-die-unendliche-verwirrung\/"},"modified":"2025-05-14T16:13:47","modified_gmt":"2025-05-14T14:13:47","slug":"die-summe-aller-natuerlichen-zahlen-und-die-unendliche-verwirrung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/22\/die-summe-aller-natuerlichen-zahlen-und-die-unendliche-verwirrung\/","title":{"rendered":"Die Summe aller nat\u00fcrlichen Zahlen und die unendliche Verwirrung"},"content":{"rendered":"

Seit einiger Zeit treibt sich ein Video<\/a> durchs Internet. Es stammt von den eigentlich sehr guten Leuten vom Numberphile-Videoblog<\/a> und erkl\u00e4rt, wie man die Summe aller nat\u00fcrlichen Zahlen berechnet. Also das Ergebnis von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … Und \u00fcberraschenderweise wird dort behauptet, dass Ergebnis dieser unendlichen Summe w\u00e4re gleich -1\/12. Das klingt absurd. Wie kann eine unendliche Summe positiver ganzer Zahlen pl\u00f6tzlich negativ sein? Und nat\u00fcrlich ist<\/i> es auch absurd. Die Summe aller nat\u00fcrlichen Zahlen ist nicht<\/i> gleich -1\/12.<\/p>\n

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Das Video selbst<\/a> wurde mittlerweile schon \u00fcber eine Million mal aufgerufen. Und als dann auch noch der prominente Wissenschaftsblogger Phil Plait dar\u00fcber schrieb<\/a> und das Ergebnis „most astonishing math“ nannte, waren sehr viele Leute davon \u00fcberzeugt, dass diese Rechnung wirklich korrekt ist: Dass wir nicht intuitiv verstehen, warum die Summe aller nat\u00fcrlichen positiven Zahlen ein negativer Bruch ist, l\u00e4ge eben daran, dass wir die Unendlichkeit nicht intuitiv verstehen.<\/p>\n

\"Irgendwo<\/a>
Irgendwo da hinten muss die Unendlichkeit sein!<\/figcaption><\/figure>\n

Die Unendlichkeit ist knifflig – aber trotzdem ist die Rechnung falsch. Das haben zum Beispiel der Mathematiker Mark Chu-Carroll in seinem Blog „Good Math, Bad Math“<\/a> oder auch Thilo K\u00fcssner vom „Mathblog“<\/a> ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt. <\/p>\n

Um die Sache kurz zusammen zu fassen: Die Summe aller nat\u00fcrlichen Zahlen hat kein endliches Ergebnis und schon gar kein negatives. Es gibt kein Ergebnis im eigentlichen Sinn, denn diese unendliche Zahlenreihe ist divergent<\/i>, das hei\u00dft sie w\u00e4chst st\u00e4ndig weiter. Es gibt auch konvergente<\/i> Reihen. Die Summe von 1\/1 + 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + 1\/16 + … ist zum Beispiel nicht unendlich, sondern schlicht und einfach 2. Denn es gibt zwar unendlich viele Zahlen die hier aufsummiert werden; diese Zahlen werden aber auch immer kleiner und kleiner und jeder weitere Beitrag immer weniger relevant f\u00fcr das Endergebnis. <\/p>\n

Aber die Reihe aller nat\u00fcrlichen Zahlen konvergiert nicht. Es gibt allerdings verschiedene mathematische Techniken, mit der man so einer Reihe einen bestimmten Wert zuweisen kann. Berechnet man zum Beispiel die sogenannte Ramanujan-Summe<\/a> von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … dann erh\u00e4lt man am Ende tats\u00e4chlich -1\/12. Das ist aber eben nicht<\/i> die eigentliche Summe aller nat\u00fcrlichen Zahlen. Die existiert nicht. Das wurde im Video von Numberphile leider nicht ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt und viele Leute haben sich von der Absurdit\u00e4t des Ergebnis einfach mitrei\u00dfen lassen, ohne genauer dar\u00fcber nachzudenken (unter anderem \u00fcbrigens auch Spiegel Online<\/a>).<\/p>\n

Dabei ist die Unendlichkeit schon faszinierend genug! Da muss man nicht auch noch mit solchen komischen Geschichten Eindruck schinden. Zu diesem Thema ist gerade k\u00fcrzlich erst ein sehr sch\u00f6nes animiertes Ted-Ed-Video<\/a> ver\u00f6ffentlicht worden. Es demonstriert das klassische Beispiel von „Hilberts Hotel“<\/i> (aber auch wer das schon kennt sollte es sich trotzdem ansehen – die Sache mit den Primzahlen am Schluss kannte ich zum Beispiel noch nicht) und zeigt, dass die Unendlichkeit tats\u00e4chlich ziemlich komisch ist!<\/p>\n