{"id":21288,"date":"2014-01-02T09:00:07","date_gmt":"2014-01-02T08:00:07","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/02\/wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-7-von-wahrscheinlichkeit-zur-statistik\/"},"modified":"2025-05-14T16:13:42","modified_gmt":"2025-05-14T14:13:42","slug":"wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-7-von-wahrscheinlichkeit-zur-statistik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/02\/wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-7-von-wahrscheinlichkeit-zur-statistik\/","title":{"rendered":"Wie der Zufall unser Leben bestimmt (7): Von Wahrscheinlichkeit zur Statistik"},"content":{"rendered":"

\"mlodinow\"<\/a>Dieser Artikel ist Teil einer fortlaufenden Besprechung des Buchs „Wenn Gott w\u00fcrfelt: oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt“<\/a> (im Original: „The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives“<\/a>) von Leonard Mlodinow. Jeder Artikel dieser Serie besch\u00e4ftigt sich mit einem anderen Kapitel des Buchs. Eine \u00dcbersicht \u00fcber alle bisher erschienen Artikel findet man hier<\/a>.
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Im ersten Kapitel<\/a> des Buchs hat Mlodinow anschaulich dargelegt, wie sehr der Zufall unser Leben bestimmt und vor allem dort, wo wir nicht damit rechnen. Das zweite Kapitel<\/a> hat sich mit den grundlegenden Regeln der Wahrscheinlichkeit besch\u00e4ftigt. Im dritten Kapitel<\/a> pr\u00e4sentiert Mlodinow das fiese Ziegenproblem, das unser Unverst\u00e4ndnis der Wahrscheinlichkeit eindrucksvoll pr\u00e4sentiert. Das vierte Kapitel<\/a> besch\u00e4ftigt sich mit den Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die vor allem Blaise Pascal im 17. Jahrhundert entwickelt hat. Das f\u00fcnfte Kapitel<\/a> besch\u00e4ftigt sich mit der Frage, was Wahrscheinlichkeiten in der realen Welt eigentlich bedeuten. Kapitel 6<\/a> erkl\u00e4rt die verwirrende Bayesschen Wahrscheinlichkeiten die f\u00fcr unser Alltagsleben von gro\u00dfer Bedeutung sind.<\/p>\n

In Kapitel 7 wechselt Leonard Mlodinow das Thema. Bis jetzt ging es immer um Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nun taucht das erste Mal die Statistik<\/i> auf. Die beiden Themen sind zwar verwandt, aber unterschiedlich. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennt man die Wahrscheinlichkeiten, mit der bestimmte Ereignisse eintreten schon vorher und nutzt sie, um die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Eintritt anderer Ereignisse zu berechnen. Aber in der Realit\u00e4t will man oft auch andere Probleme l\u00f6sen. Zum Beispiel in der Wissenschaft: Da geht es meistens nicht darum, dass man den Wert einer bestimmten Messgr\u00f6\u00dfe kennt und die Wahrscheinlichkeit bestimmen will, mit der die Messungen diesen Wert erreichen. Da hat man jede Menge Messungen und will damit<\/i> den konkreten Wert der Messgr\u00f6\u00dfe bestimmen. Und daf\u00fcr braucht man die Statistik.<\/p>\n

Man muss sich au\u00dferdem im klaren dar\u00fcber sein, dass jede reale Messung ein zuf\u00e4lliges Element beinhaltet (und dabei rede ich jetzt nicht von der Quantenmechanik). Mlodinow bringt das Beispiel der Englischlehrerin seiner Tochter. Hausarbeiten werden dort auf einer Skala von 1 bis 100 beurteilt. Aber was bedeutet es wirklich, wenn eine Arbeit mit der Note „92“ beurteilt wird und wie unterscheidet sich diese Arbeit von einer mit der Note „93“? Kann ein Lehrer wirklich objektiv so feine Unterscheidungen treffen? Studien zeigen, dass das nicht der Fall ist.<\/p>\n

L\u00e4sst man unterschiedliche Lehrer die gleichen Arbeiten nach den gleichen Kriterien beurteilen, kommen sie trotzdem selten zum gleichen Ergebnis. Es spielen eben zu viele zuf\u00e4llige Faktoren eine Rolle. Genau so wie bei anderen subjektiven Beurteilungen, zum Beispiel dem Geschmack von Wein. Auch hier zeigen Studien regelm\u00e4\u00dfig, dass auch Experten nicht in der Lage sind<\/a>, konsistente Beurteilungen abzugeben. Zu viele zuf\u00e4llige und psychologische Faktoren spielen Rolle. Weine, von denen man erwartet dass sie gut schmecken, werden besser beurteilt als sie beurteilt werden wenn die Tester vorher der Meinung sind sie w\u00fcrden schlecht schmecken. Zwei identische Wei\u00dfweine werden unterschiedlich beurteilt wenn einer davon mit einem geschmack- und geruchlosen Farbstoff rot gef\u00e4rbt wird und selbst wenn es nur daraus geht aus drei Weinen die beiden herauszuschmecken die identisch sind, sind die Experten nicht in der Lage, das zuverl\u00e4ssig zu tun. Und das gilt nat\u00fcrlich nicht nur f\u00fcr Wein: In Tests scheitern die Menschen auch regelm\u00e4\u00dfig daran, Coca Cola von Pepsi Cola zu unterscheiden, selbst wenn sie davon \u00fcberzeugt sind, die eine Marke zu m\u00f6gen und die andere nicht.<\/p>\n

\"Wer<\/a>
Wer kennt schon den Unterschied…? (Bild: BerndtF, CC-BY-SA 3.0<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Wenn also 15 Weinexperten einem Wein (auf einer Skala von 1 bis 100) die Noten 80, 81, 82, 87, 89, 89, 90, 90, 90, 91, 91, 94, 97, 99 und 100 geben: Was hat das dann zu bedeuten? Und wie unterscheidet sich so ein Urteil von 15 Experten die dem Wein alle eine Note von 90 Punkten geben? Berechnet man den Durchschnitt der Noten, erh\u00e4lt man jedesmal 90 Punkte. Aber ganz offensichtlich unterscheidet sich der eine Fall vom anderen. In der ersten Serie gibt es viel mehr Variation und die wird mit der Standardabweichung<\/i> beschrieben. Sie betr\u00e4gt in diesem Fall 6 Punkte und alles was man \u00fcber diesen Wein sagen kann ist, dass er eine Note hat, die irgendwo zwischen 84 und 96 liegt. <\/p>\n

Die Standardabweichung von Daten wird oft vernachl\u00e4ssigt und es wird ignoriert, dass Variationen einer Gr\u00f6\u00dfe innerhalb<\/i> der Standardabweichung keine Bedeutung haben. Wenn zum Beispiel bei einer Meinungsumfrage herauskommt, dass die Zustimmung zur Politik der SPD von 30 auf 34 Prozent gestiegen ist, dann wird das die SPD sicherlich freuen und vermutlich wird die PR-Abteilung entsprechende Pressemitteilungen verfassen die erkl\u00e4ren, dass die Bev\u00f6lkerung die Arbeit der Partei w\u00fcrdigt, man auf dem richtigen Weg ist, und so weiter. Aber solange man die Standardabweichung nicht kennt, macht das alles keinen Sinn. Sagen wir, sie betr\u00e4gt bei dieser Umfrage 5 Prozent. Das bedeutet folgendes: W\u00fcrde man die Umfrage unmittelbar wiederholen, dann kann der Zustimmungswert dieses Mal auch bei 29 Prozent landen weil die SPD-Anh\u00e4nger gerade alle am Klo waren und nicht ans Telefon gegangen sind. Oder aber man kriegt einen Wert von 39 Prozent. Wenn sich eine Messgr\u00f6\u00dfe um 4% \u00e4ndert, die Standardabweichung aber 5% betr\u00e4gt, dann ist die \u00c4nderung ohne Bedeutung weil es sich genau so gut um eine zuf\u00e4llige Fluktuation handeln kann.<\/p>\n

Bei jeder realen Messung macht man Fehler und die h\u00e4ngen normalerweise vom Zufall ab. Die ersten, die sich intensiv damit auseinandersetzen mussten, waren die Astronomen im 17. und 18. Jahrhundert. Ausger\u00fcstet mit Newtons Gravitationstheorie wollten sie die Bewegung der Himmelsk\u00f6rper berechnen und mussten dazu die Daten von Beobachtungen auswerten. Was ein Astronom misst, h\u00e4ngt von dem Ger\u00e4t ab, das er benutzt, von den Unruhen in der Luft, von den Temperaturschwankungen, der Adaption der Augen an die Dunkelheit, der Stimmung des Astronom und jeder Menge anderer zuf\u00e4lliger Faktoren. Die Messwerte waren also nie identisch sondern variierten um einen Wert herum. Die Frage war nun: Wie genau sind die Messfehler verteilt? <\/p>\n

Das entsprechende mathematische Gesetz dass die Verteilung von Messfehlern bestimmt wird heute Normalverteilung oder Gau\u00dfverteilung genannt (nach Carl Friedrich Gau\u00df, der es formuliert hat – obwohl vor ihm auch andere Wissenschaftler schon \u00e4hnliche Ideen hatten). Der Form der Verteilung nach wird sie auch „Glockenkurve“ genannt:<\/p>\n

\"500px-Normalverteilung.svg\"<\/a><\/p>\n

Wiederholt man eine Messung immer wieder und erstellt ein Diagramm, das anzeigt wie oft man einen bestimmten Wert erhalten hat, dann bekommt eine Kurve, die so aussieht wie in obigem Bild. Die meisten Messungen werden sich um einen Maximalwert herum verteilen; man wird aber auch immer wieder vereinzelte Messungen erhalten, die stark von diesem Wert abweichen. Die Kurve kann breit sein oder schmal und nat\u00fcrlich wird der Maximalwert je nach Art des gemessenen Ph\u00e4nomens ein anderer sein. Aber die grundlegende Form ist immer gleich und sie kann immer mit der gleichen mathematischen Formel beschrieben werden. <\/p>\n

Diese Formel erkl\u00e4rt auch, wie die Standardabweichung zu interpretieren ist: Je st\u00e4rker die einzelnen Messwerte varieren, desto breiter ist die Kurve. Folgen Messwerte einer Gau\u00dfverteilung, dann werden immer 68,27% der Messungen in einem Bereich von genau einer Standardabweichung landen. W\u00fcrde man zum Beispiel 10.000 Weinexperten einen Wein testen lassen und ihre Noten aufzeichnen, w\u00fcrde man eine Glockenkurve erhalten. Sagen wir, der Maximalwert der Kurve liegt bei 56 Punkten und die Standardabweichung betr\u00e4gt 5 Punkte. Dann haben 6827 Tester dem Wein eine Note gegeben, die zwischen 51 und 61 Punkten betr\u00e4gt. 95,45% der Messungen liegen bei einer Glockenkurve im Bereich von zwei Standardabweichung. 9545 der Tester haben den Wein also mit einer Note zwischen 46 und 66 Punkten bewertet. 99,73 der Datenpunkte liegen im Bereich von drei Standardabweichung: 9973 Tester haben dem Wein zwischen 41 und 71 Punkte gegeben. Und so weiter. <\/p>\n

Die Gau\u00dfverteilung erlaubt es, genau diese Zusammenh\u00e4nge exakt zu berechnen. F\u00fchrt man ein Experiment wiederholt durch, dann werden die zuf\u00e4lligen Fehler daf\u00fcr sorgen, dass sich die Ergebnisse nach der Glockenkurve verteilen (das gilt aber nicht f\u00fcr systematische Fehler!). Eine genau Analyse erm\u00f6glicht es dann herauszufinden, wie exakt man mit diesen Messungen den tats\u00e4chlichen Wert bestimmt hat. Sie sagt uns aber auch, dass wir sehr gut aufpassen m\u00fcssen, wenn wir nur wenige oder gar nur einen Datenpunkt zur Verf\u00fcgung haben. Denn die Glockenkurve hat links und rechts kein Ende. Es wird zwar immer unwahrscheinlicher, dass ein einzelner Messwert extrem stark vom Mittelwert abweicht. Aber es gibt<\/i> diese Abweichungen und wenn man nur eine einzige Messung macht kann man nicht sicher sein, dass man nicht gerade zuf\u00e4llig einen Extremwert gemessen hat, der vom tats\u00e4chlich Wert vollkommen abweicht. <\/p>\n

Und das gilt um so mehr, wenn die ganze Sache chaotisch wird. Aber das passiert erst im n\u00e4chsten Kapitel. \t\"\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dieser Artikel ist Teil einer fortlaufenden Besprechung des Buchs „Wenn Gott w\u00fcrfelt: oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt“ (im Original: „The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives“) von Leonard Mlodinow. Jeder Artikel dieser Serie besch\u00e4ftigt sich mit einem anderen Kapitel des Buchs. Eine \u00dcbersicht \u00fcber alle bisher erschienen Artikel findet man hier. ——————————————————- […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":11561,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11,771],"tags":[176,91,5631,5990,8928,9845,9855,10774,13732,244,15575,15576,15861,16384],"class_list":["post-21288","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","category-wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt","tag-buch","tag-carl-friedrich-gauss","tag-gaussverteilung","tag-glockenkurve","tag-leonard-mlodinow","tag-messfehler","tag-messung","tag-normalverteilung","tag-standardabweichung","tag-statistik","tag-wahrscheinlichkeit","tag-wahrscheinlichkeitsrechnung","tag-wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt","tag-zufall"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21288","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=21288"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21288\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21289,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21288\/revisions\/21289"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/11561"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=21288"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=21288"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=21288"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}