{"id":21286,"date":"2014-01-01T09:00:38","date_gmt":"2014-01-01T08:00:38","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/01\/wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-6-bayessche-verwirrung\/"},"modified":"2025-05-14T16:13:42","modified_gmt":"2025-05-14T14:13:42","slug":"wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-6-bayessche-verwirrung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2014\/01\/01\/wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt-6-bayessche-verwirrung\/","title":{"rendered":"Wie der Zufall unser Leben bestimmt (6): Bayessche Verwirrung"},"content":{"rendered":"

\"mlodinow\"<\/a>Dieser Artikel ist Teil einer fortlaufenden Besprechung des Buchs „Wenn Gott w\u00fcrfelt: oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt“<\/a> (im Original: „The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives“<\/a>) von Leonard Mlodinow. Jeder Artikel dieser Serie besch\u00e4ftigt sich mit einem anderen Kapitel des Buchs. Eine \u00dcbersicht \u00fcber alle bisher erschienen Artikel findet man hier<\/a>.
\n——————————————————-<\/p>\n

Im ersten Kapitel<\/a> des Buchs hat Mlodinow anschaulich dargelegt, wie sehr der Zufall unser Leben bestimmt und vor allem dort, wo wir nicht damit rechnen. Das zweite Kapitel<\/a> hat sich mit den grundlegenden Regeln der Wahrscheinlichkeit besch\u00e4ftigt. Im dritten Kapitel<\/a> pr\u00e4sentiert Mlodinow das fiese Ziegenproblem, das unser Unverst\u00e4ndnis der Wahrscheinlichkeit eindrucksvoll pr\u00e4sentiert. Das vierte Kapitel<\/a> besch\u00e4ftigt sich mit den Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die vor allem Blaise Pascal im 17. Jahrhundert entwickelt hat. Das f\u00fcnfte Kapitel<\/a> besch\u00e4ftigt sich mit der Frage, was Wahrscheinlichkeiten in der realen Welt eigentlich bedeuten.<\/p>\n

Und in Kapitel 6 wird es verwirrend… Denn da geht es um Thomas Bayes<\/a> und seinen kleinen aber relevanten Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Beitrag, der f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis von Wahrscheinlichkeiten im Alltag von enormer Bedeutung ist, aber sehr oft ignoriert wird. Bayes hat sich mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten<\/i> besch\u00e4ftigt, also mit der Frage, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses abh\u00e4ngt.<\/p>\n

Ein Beispiel: Ein Mann nimmt nach der Arbeit heimlich Tanzstunden. Seine Frau merkt, dass er immer sp\u00e4ter nach Hause kommt und schlie\u00dft daraus, dass er ein Verh\u00e4ltnis hat. Denn warum sonst sollte er ihr die Wahrheit \u00fcber das verschweigen, was er nach der Arbeit tut. Wenn er eine Affaire hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit gr\u00f6er, dass er \u00fcber seine „\u00dcberstunden“ l\u00fcgt als wenn er keine Affaire h\u00e4tte. Aber hier hat sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten durcheinander gebracht. Da ist einmal die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann l\u00fcgt, wenn<\/i> er eine Affaire hat. Und dann die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Affaire hat, wenn<\/i> er l\u00fcgt. Beide Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich gro\u00df und d\u00fcrfen nicht verwechselt werden!<\/p>\n

\"Wie<\/a>
Wie wahrscheinlich ist es, dass dieses Bild etwas mit dem Artikel zu tun hat, wenn man bedenkt dass es verdammt schwer ist, h\u00fcbsche Bilder zu fieser Mathematik zu finden?<\/figcaption><\/figure>\n

WIE wichtig das ist, wei\u00df Mlodinow aus eigener Erfahrung. Im Jahr 1989 bekam er einen Anruf von seinem Arzt der ihm erkl\u00e4rte, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9 die n\u00e4chsten 10 Jahren nicht \u00fcberleben wird. Das ist nat\u00fcrlich keine sonderlich erfreuliche Nachricht sondern kommt einem Todesurteil gleich. Aber Mlodinow ist immer noch lebendig und die ersch\u00fctternde Aussage seines Arztes ist nur schlechter Statistik zu verdanken.<\/p>\n

Mlodinow hatte f\u00fcr seine Lebensversicherung einen HIV-Test absolviert und wurde positiv getestet. Der Test ist nat\u00fcrlich nicht perfekt. Wird er auf 1000 nicht-infizierte Blutproben angewandt, dann liefert er im Durchschnitt einmal ein falsches Ergebnis und behauptet, das Blut w\u00e4re infiziert obwohl es das nicht ist. Daraus hat der Doktor geschlossen dass der Test in 999 von 1000 F\u00e4llen richtig und Mlodinow mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9 Prozent mit HIV infiziert ist. Aber das ist falsch. Der Arzt hat wieder zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechselt. Die Wahrscheinlichkeit dass Mlodinow positiv getestet wird, wenn<\/i> er nicht HIV-positiv ist und die Wahrscheinlichkeit, dass Mlodinow nicht HIV-positiv ist, wenn<\/i> er positiv getestet wird.<\/p>\n

Um den Fehler des Arztes zu verstehen, muss man sich die Sache ganz genau ansehen und das Theorem von Bayes<\/a> ist die korrekte Methode das zu tun. Es reicht nicht, sich einfach nur die Daten aller Menschen anzusehen, die den HIV-Test absolviert haben. Bayes‘ Theorem erm\u00f6glicht es, zus\u00e4tzliche Informationen zu inkludieren und sie zu benutzen um die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen neu festzulegen. Mlodinow ist ein wei\u00dfer m\u00e4nnlicher heterosexueller Amerikaner der keine Drogen nimmt und geh\u00f6rte damit 1989 zu keiner der klassischen Risikogruppen. Es macht also Sinn, sich bei der Untersuchung der Wahrscheinlichkeiten auf die Gruppe zu beschr\u00e4nken, zu der auch Mlodinow geh\u00f6rt. Au\u00dferdem muss man alle<\/i> M\u00f6glichkeiten untersuchen, die bei der Auswertung des Tests auftreten k\u00f6nnen. Dazu geh\u00f6ren die F\u00e4lle, in der eine Person positiv getestet wird, die HIV-positiv ist („richtig-positiven“ F\u00e4lle); die F\u00e4lle in der eine Person positiv getestet wird, die nicht HIV-positiv ist („falsch-positiv“); die F\u00e4lle in der eine Person negativ getestet wird, die nicht HIV-positiv ist („richtig-negativ“) und die F\u00e4lle in der eine Person negativ getestet wird, die HIV-positiv ist („falsch-negativ“). Erst wenn man wei\u00df wie wahrscheinlich all diese F\u00e4lle sind, kann man korrekte Aussagen \u00fcber den Test machen.<\/p>\n

Die entsprechenden Statistiken besagen, dass von 10.000 getesteten wei\u00dfen m\u00e4nnlichen heterosexuellen Amerikanern die keine Drogen nehmen im Durchschnitt eine Person mit HIV infiziert ist. Die falsch-negativ-Rate des Tests ist quasi gleich null; d.h. es kommt nicht vor, dass jemand \u00fcbersehen wird, der tats\u00e4chlich HIV-positiv ist. Der Test wird bei den 10.000 Personen also auf jeden Fall ein positives Resultat liefern das auf die tats\u00e4chliche Infektion der eine Person zur\u00fcckzuf\u00fchren ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ein positives Resultat liefert obwohl die Person nicht infiziert ist, also die falsch-positiv-Rate liegt aber bei den vom Doktor erw\u00e4hnten 0,01 Prozent (1 falsches Ergebnis von 1000). Bei den 10.000 getesteten Menschen sind das also 10, die ein positives Resultat erhalten obwohl sie nicht infiziert sind. Insgesamt sind es 11 Leute von 10.000 die ein positives Testresultat erhalten obwohl nur einer davon tats\u00e4chlich infiziert ist. Wenn man zu dieser Gruppe geh\u00f6rt, dann besteht eine Chance von 10 zu 11, also mehr als 90 Prozent, dass man nicht<\/i> infiziert ist, obwohl der Test ein positives Resultat geliefert hat!<\/p>\n

Der Doktor h\u00e4tte Mlodinow also sagen m\u00fcssen, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent nicht HIV-positiv anstatt ihm zu erz\u00e4hlen, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9 Prozent infiziert ist. Der Unterschied liegt im Bayesschen Theorem und den zus\u00e4tzliche Informationen. Die Statistiken sagen n\u00e4mlich auch, dass bei 10.000 Menschen aus der Risikogruppe im Durchschnitt 100 tats\u00e4chlich infiziert sind (und nicht nur einer wie in der Nicht-Risikogruppe zu der Mlodinow geh\u00f6rt). Es gibt nun also 100 richtig-positive F\u00e4lle und weiterhin 10 falsch-positive F\u00e4lle. Bekommt man ein positives Resultat besteht nun eine Chance von 10 zu 11 das<\/i> man tats\u00e4chlich infiziert ist, wenn man ein positives Resultat bekommen hat.<\/p>\n

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind tats\u00e4chlich ziemlich hinterh\u00e4ltig und wenn man sie vernachl\u00e4ssigt, kann das schnell dramatische Folgen haben. Das f\u00e4ngt dubiosen Statistiken in Esoterik und Pseudowissenschaften, wo man nur die richtig-positiven F\u00e4lle betrachtet („Mein Horoskop hat das Erdbeben korrekt vorhergesagt“), aber die falsch-positiven F\u00e4lle (Erdbeben wurden nicht vorhergesagt und haben nicht stattgefunden) genauso ignoriert wie die richtig-negativen F\u00e4lle (Erdbeben wurden vorhergesagt und haben nicht stattgefunden) und die falsch-negativen (All die Erdbeben die stattgefunden haben ohne vorhergesagt zu werden). Ich habe das fr\u00fcher schon mal ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt<\/a> und festgestellt, dass es enorm einfach ist, eine scheinbar unfehlbare Methode f\u00fcr was auch immer zu entwickeln. Einen HIV-Test mit 100 prozentiger richtig-positiv-Rate zu entwerfen, ist simpel. Man muss einfach nur bei jeder Person behaupten, dass sie infiziert ist. Damit ist sicher gestellt, dass JEDE Person, die infiziert ist, von diesem Test auch erkannt wird. Aber man produziert eben auch eine gigantische falsch-positiv-Rate die den „Test“ v\u00f6llig wertlos macht. <\/p>\n

\"Wie<\/a>
Wie wahrscheinlich ist es, dass die Zeitungshoroskope tats\u00e4chlich von einer Katze geschrieben werden, wenn man bedenkt, dass Astrologie Unsinn ist?<\/figcaption><\/figure>\n

Bayes‘ Theorem ist seit dem 18. Jahrhundert bekannt, hat sich aber immer noch nicht im Bewusstsein der Menschen durchgesetzt. Mlodinow berichtet von einer Studie, bei der \u00c4rzte vor folgendes Problem gestellt wurden: <\/p>\n

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Frau zwischen 40 und 50 Jahren die keine spezifischen Symptome zeigt an Brustkrebs leidet, wenn sie ein positives Mammographie-Resultat erh\u00e4lt? 7 Prozent der Mammographien zeigen Krebs an, obwohl keiner vorhanden ist. Die Statistik zeigt, dass 0,8 Prozent der 40 bis 50j\u00e4hrigen Frauen ohne spezifische Symptome tats\u00e4chlich an Brustkrebs leiden. Die falsch-negativ-Rate des Tests betr\u00e4gt 10 Prozent.<\/i><\/p><\/blockquote>\n

Mit Bayes‘ Theorem l\u00e4st sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit genau ausrechnen und sie betr\u00e4gt in diesem Fall 9 Prozent. Nur 9 Prozent der 40 bis 50j\u00e4hrigen Frauen ohne Symptome haben (in diesem Beispiel) tats\u00e4chlich Brustkrebs wenn die Mammographie Brustkrebs anzeigt. Ein Drittel der befragten \u00c4rzte in Deutschland war allerdings der Meinung, es w\u00e4ren 90 Prozent und im Durchschnitt lagen die Antworten bei 70 Prozent. Dieser Unterschied zwischen dem, was wir intuitiv f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sch\u00e4tzen und der realen Wahrscheinlichkeit zeigt sich hier besonders dramatisch. Es macht einen enormen Unterschied, ob man nach einem Besuch beim Arzt erf\u00e4hrt, dass man zu 90 Prozent an Krebs leidet oder nur zu 9 Prozent! <\/p>\n

Und wer nun denkt, er habe die bedingten Wahrscheinlichkeiten verstanden, f\u00fcr den gibt es noch eine Hausaufgabe. In Kapitel 3<\/a> ging es um die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei Kindern zwei M\u00e4dchen hat, wenn<\/i> bekannt ist, dass zumindest eines der Kinder ein M\u00e4dchen ist. Das war im Prinzip schon eine bedingte Wahrscheinlichkeit nach Bayes und die Antwort betrug: 1 zu 3. Von den vier M\u00f6glichkeiten (Junge\/Junge), (Junge\/M\u00e4dchen), (M\u00e4dchen\/Junge), (M\u00e4dchen\/M\u00e4dchen) sagt uns die Zusatzinformation der „wenn“-Bedingung, dass wir den Fall (Junge\/Junge) ignorieren k\u00f6nnen. Von den verbleibenden drei M\u00f6glichkeiten erf\u00fcllt nur eine die gesuchte Bedingung nach zwei M\u00e4dchen. Die Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt also 1 zu 3. So weit, so klar. Aber wie lautet die Antwort auf diese Frage:<\/p>\n

Eine Familie hat zwei Kinder. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide davon M\u00e4dchen sind wenn bekannt ist, das eines der Kinder ein M\u00e4dchen mit dem Namen „Mechthild“ ist?<\/i><\/p><\/blockquote>\n

Das mag nun vielleicht absurd klingen, aber f\u00fcr die Frage nach der Wahrscheinlichkeit spielt es tats\u00e4chlich eine Rolle, ob man den Namen des M\u00e4dchens kennt oder nicht und die Antwort auf diese Frage ist NICHT „1 zu 3“. Viel Spa\u00df beim Suchen nach der L\u00f6sung (und wenn ihr die Antwort schon kennt weil ihr das Buch gelesen habt, dann verratet sie bitte nicht gleich in den Kommentaren!).\"\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dieser Artikel ist Teil einer fortlaufenden Besprechung des Buchs „Wenn Gott w\u00fcrfelt: oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt“ (im Original: „The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives“) von Leonard Mlodinow. Jeder Artikel dieser Serie besch\u00e4ftigt sich mit einem anderen Kapitel des Buchs. Eine \u00dcbersicht \u00fcber alle bisher erschienen Artikel findet man hier. ——————————————————- […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":11561,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11,771],"tags":[2300,2322,176,8928,12836,244,14540,15575,15576,15861,16384],"class_list":["post-21286","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","category-wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt","tag-bayessche-stat","tag-bedingte-wahrscheinlichkeiz","tag-buch","tag-leonard-mlodinow","tag-satz-von-bayes","tag-statistik","tag-thomas-bayes","tag-wahrscheinlichkeit","tag-wahrscheinlichkeitsrechnung","tag-wie-der-zufall-unser-leben-bestimmt","tag-zufall"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21286","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=21286"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21286\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21287,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21286\/revisions\/21287"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/11561"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=21286"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=21286"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=21286"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}