{"id":18818,"date":"2010-01-08T10:00:00","date_gmt":"2010-01-08T09:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2010\/01\/08\/storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-4\/"},"modified":"2025-05-14T16:02:40","modified_gmt":"2025-05-14T14:02:40","slug":"storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2010\/01\/08\/storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-4\/","title":{"rendered":"St\u00f6rungsrechnung und die Stabilit\u00e4t des Sonnensystems (Teil 4)"},"content":{"rendered":"

Im ersten Teil der Serie<\/a> habe ich die Grundlagen der St\u00f6rungsrechnung erkl\u00e4rt; im zweiten Teil<\/a>
\nhabe ich – hoffentlich halbwegs verst\u00e4ndlich – erl\u00e4utert, wie man die
\nBewegung der Planeten im Sonnensystem st\u00f6rungstechnisch formuliert. Im dritten Teil<\/a> habe ich dann erkl\u00e4rt, wie man mit der St\u00f6rungstheorie zeigt, dass unser Sonnensystem prinzipiell stabil ist. <\/p>\n

Mit den Formeln aus dem letzten Teil kann man aber noch einen interessanten Aspekt der Himmelsmechanik demonstrieren. Aus den Formeln der St\u00f6rungstheorie folgt nicht nur die prinzipielle Stabilit\u00e4t der Planetenbahnen – man kann auch sehen, wann sie nicht mehr stabil sind…
\n
\nDie L\u00f6sung f\u00fcr die \u00c4nderung der gro\u00dfen Halbachsen aus dem letzten Teil sah so aus:<\/p>\n

\"i-f49c602684a567facc392e107ef3b459-3bpformel9-thumb-500x123.jpg\"<\/a><\/form>\n

Gestern haben wir uns auf das zus\u00e4tzliche j konzentriert, das sicherstellte, das kein b\u00f6ser S\u00e4kularterm in der endg\u00fcltigen L\u00f6sung vorhanden ist. Heute m\u00f6chte ich einen anderen Aspekt der L\u00f6sung n\u00e4her betrachten: jn1<\/sub> + kn2<\/sub>, den Term unter dem Bruchstrich.<\/p>\n

Man darf nicht vergessen, dass man bei der St\u00f6rungsrechnung von einer bestimmten Grundvoraussetzung ausgeht: Zus\u00e4tzliche Terme in den L\u00f6sungssummen m\u00fcssen i.A. immer kleiner sein, als der vorhergehende Ausdruck. Nur so ist sichergestellt, dass die L\u00f6sung nicht unendlich gro\u00df und damit sinnlos wird. In der Mathematik sagt man, dass die Reihen konvergieren <\/i>m\u00fcssen (anstatt zu divergieren<\/i>). <\/p>\n

Prinzipiell ist das bei den Reihen unserer L\u00f6sung auch der Fall. Allerdings muss man auf den Bruch aufpassen. In der Bruchrechnung ist es ja so, dass der Bruch selbst umso gr\u00f6\u00dfer wird, je kleiner die Zahl unter dem Bruchstrich ist. Wird der jn1<\/sub> + kn2<\/sub> also sehr klein, dann wird die ganze L\u00f6sung sehr gro\u00df und es kann passieren, dass die Reihen nicht mehr konvergieren.<\/p>\n

Kann dieser Ausdruck also sehr gro\u00df werden? Und wenn ja, unter welchen Umst\u00e4nden? (Das war \u00fcbrigens auch die gro\u00dfe Frage, die Henri Poincar\u00e9 1888 l\u00f6ste<\/a> und damit die Chaostheorie begr\u00fcndete)<\/p>\n

Dazu muss man erstmal schauen, was jn1<\/sub> + kn2<\/sub> eigentlich genau beschreibt. n1<\/sub> und n2<\/sub> sind die mittleren Bewegungen<\/i> der Planeten. Zum Beispiel bewegt sich Jupiter mit 0,08309 Grad pro Tag; Saturn bewegt sich mit 0,03346 Grad pro Tag. Das ist erstmal nicht tragisch – allerdings durchlaufen die Indizes j und k der Summe ja s\u00e4mtliche ganzen Zahlen, von minus unendlich bis plus unendlich. Und wenn wir Pech haben kommt es vor, dass sich n1<\/sub> und n2<\/sub> mit zwei bestimmten Zahlen j und k genau so kombinieren, das der gesamte Ausdruck jn1<\/sub> + kn2<\/sub> sehr klein wird.<\/p>\n

Schauen wir mal, was passiert, wenn wir j=5 und k=-2 setzen: f\u00fcnfmal die mittlere Bewegung von Saturn minus zweimal die mittlere Bewegung von Jupiter ist nur noch 0,00112 Grad pro Tag – eine sehr kleine Zahl. Die steht in der L\u00f6sung unter dem Bruchstrich – die L\u00f6sung selbst (die ja die St\u00f6rung angibt) wird also sehr gro\u00df!<\/p>\n

Immer dann, wenn die mittleren Bewegungen zweier Planeten in oder nahe einem bestimmten ganzzahligen Verh\u00e4ltnis stehen, werden die gravitativen St\u00f6rungen also sehr gro\u00df. Man nennt das Resonanz<\/i> und ich habe in einem anderen Artikel schon ausf\u00fchrlich dar\u00fcber geschrieben<\/a>. Die oben genannte 5:2 Resonanz zwischen Jupiter und Saturn ist eine der bekanntesten und prominentesten in unserem Sonnensystem. <\/p>\n

Diese Resonanzen sind f\u00fcr die Bewegung und die Strukturen in unserem Sonnensystem extrem wichtig – und jetzt kennt ihr auch die mathematischen Gr\u00fcnde daf\u00fcr \ud83d\ude09  <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Im ersten Teil der Serie habe ich die Grundlagen der St\u00f6rungsrechnung erkl\u00e4rt; im zweiten Teil habe ich – hoffentlich halbwegs verst\u00e4ndlich – erl\u00e4utert, wie man die Bewegung der Planeten im Sonnensystem st\u00f6rungstechnisch formuliert. Im dritten Teil habe ich dann erkl\u00e4rt, wie man mit der St\u00f6rungstheorie zeigt, dass unser Sonnensystem prinzipiell stabil ist. Mit den Formeln […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3139,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[18,2846,593,4006,6336,66,417,8492,302,580,12261,12305,152,582,13721,13993,14110],"class_list":["post-18818","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","tag-astronomie","tag-bruchrechnung","tag-chaos","tag-divergenz","tag-halbachse","tag-himmelsmechanik","tag-jupiter","tag-konvrgenz","tag-mathematik","tag-planeten","tag-reihe","tag-resonanzen","tag-saturn","tag-sonnensystem","tag-stabilitat","tag-storungsrechnung","tag-summe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18818","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=18818"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18818\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18819,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18818\/revisions\/18819"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3139"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=18818"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=18818"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=18818"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}