{"id":18816,"date":"2010-01-07T10:00:43","date_gmt":"2010-01-07T09:00:43","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2010\/01\/07\/storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-3\/"},"modified":"2025-05-14T16:02:40","modified_gmt":"2025-05-14T14:02:40","slug":"storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2010\/01\/07\/storungsrechnung-und-die-stabilitat-des-sonnensystems-teil-3\/","title":{"rendered":"St\u00f6rungsrechnung und die Stabilit\u00e4t des Sonnensystems (Teil 3)"},"content":{"rendered":"

Im ersten Teil der Serie<\/a> habe ich die Grundlagen der St\u00f6rungsrechnung erkl\u00e4rt; im zweiten Teil<\/a> habe ich – hoffentlich halbwegs verst\u00e4ndlich – erl\u00e4utert, wie man die Bewegung der Planeten im Sonnensystem st\u00f6rungstechnisch formuliert.<\/p>\n

Falls doch noch ein paar Leute \u00fcbrig sind, die sich durch die vielen Formeln nicht abschrecken haben lassen, geht es jetzt weiter: mit noch mehr Formeln \ud83d\ude09<\/p>\n

<\/p>\n

Zuerst m\u00f6chte ich noch einmal auf dieSt\u00f6rungsfunktion<\/i> von gestern zur\u00fcckkommen.<\/p>\n

\"i-a4a4c47a5a488f92f2920a3cd3627fb8-3bpformel4-thumb-500x216.jpg\"<\/a><\/form>\n

Diese Formeln ergeben sich direkt aus den Gravitationsgesetzen und sind exakt. Aber wenn die St\u00f6rungsfunktion so aufgeschrieben wird, kann man nicht wirklich St\u00f6rungsrechnung damit treiben. Hier muss man ja die wirkende Kr\u00e4fte als Summe von immer kleiner werdenen Bestandteilen darstellen. <\/p>\n

In der Mathematik gibt es spezielle Techniken, wie man eine Funktion – z.B. die Sinus-Funktion – in eine sogenannte Reihe <\/i>umwandeln kann. So eine Reihe ist nichts anderes als eine lange Addition verschiedener Terme. Mathematisch wird sie mit dem Summensymbol \u03a3 <\/b>dargestellt; unter und \u00fcber dem Symbol wird angegeben, wie summiert wird. Zum Beispiel so:<\/p>\n\"i-61e2a869e603119d7ff58e1c8e550844-Summe.png\"<\/form>\n

Das bedeutet, das i <\/em>alle Zahlen von 0 bis unendlich durchl\u00e4uft und man daher die Summe der Zahlen a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, usw bilden muss; also S = a1<\/sub> + a2<\/sub> + a3<\/sub> + …<\/p>\n

Mit so einer Summendarstellung einer Funktion kann man dann St\u00f6rungsrechnung betreiben. Wie<\/i> man die St\u00f6rungsfunktion in eine Summe unwandelt kann ich hier allerdings nicht erkl\u00e4ren – das w\u00fcrde mehr als ein paar Bildschirmseiten ben\u00f6tigen – viel mehr… Jedenfalls kann man eine sogenannten Fourrierreihe<\/a> bilden und die sieht am Ende so aus: <\/p>\n\"i-96ba0cbe374e6b3d6382ddd5b6dab0f4-3bpformel5-thumb-500x151.jpg\"<\/a><\/form>\n

Die St\u00f6rungsfunktion f\u00fcr den i-ten K\u00f6rper besteht also aus der Masse des i-ten K\u00f6rpers, multipliziert mit einer Summe. Diese Summe besteht aus den Zahlen Cjk<\/sub>, die von den Bahnelementen<\/a> a, e und i abh\u00e4ngen und einer Kosinusfunktion. Im Argument dieser Funktion steht das Delaunay-Element l <\/i>– also die mittlere Anomalie die die Bewegung des Planeten angibt und auch als l = nt<\/i> geschrieben werden kann (n<\/i> ist die mittlere Bewegung eines Planeten). Ebenfalls im Argument der Kosinusfunktion stehen weitere Zahlen Djk<\/sub>, die von den Winkeln der Bahnelemente abh\u00e4ngen. <\/p>\n\"i-6553808483e171478b4372ac20fb266f-3bpformel6-thumb-500x162.jpg\"<\/a><\/form>\n

Mit dieser Formulierung der St\u00f6rungsfunktion kann man nun die kanonischen Gleichungen der Delaunay-Elemente benutzen um die \u00c4nderungen der Bahnelemente zu berechnen. Ich habe ja gestern schon gezeigt, dass die \u00c4nderung eines Elements identisch mit der \u00c4nderung der St\u00f6rungsfunktion ist, die auftritt, wenn man das entsprechende konjugierte Element \u00e4ndert. Will ich also die gesamten St\u00f6rungen eines Bahnelements bestimmen, muss ich nur \u00fcber diese sogenannte partielle Ableitung <\/i>der St\u00f6rungsfunktion integrieren: <\/p>\n\"i-49c9d893f2896ca40c93b84c345c26b4-3mpformel7-thumb-500x110.jpg\"<\/a><\/form>\n

Ich m\u00f6chte das am Beispiel des Delaunay-Elements L1<\/sub> zeigen. L1<\/sub> h\u00e4ngt mit der gro\u00dfen Halbachse des ersten Planeten zusammen. Um die Gleichung zu l\u00f6sen muss man also erstmal die St\u00f6rungsfunktion nach dem konjugierten Element ableiten. F\u00fcr L1<\/sub> ist das l1<\/sub>. Die Ableitung ist nicht allzu schwer zu bilden; das Ergebnis sieht so aus:<\/p>\n\"i-0ab81b1033e120eeb223a65caf64a157-3bpformel8-thumb-500x85.jpg\"<\/a><\/form>\n

Relevant ist hier, das man auch die Kosinusfunktion ableiten muss. Aus der Schule werden die meisten noch wissen, dass die Ableitung der Kosinusfunktion die negative Sinusfunktion ist. Und man muss auch noch das Argument der Kosinusfunktion ableiten – das ist hier besonders wichtig, denn im Argument steht ja gerade das Delaunay-Element l – das, nach dem hier abgeleitet werden muss. Wenn ich lj <\/i>differenziere, dann bleibt nur j<\/i> \u00fcbrig – deswegen gibt es im Ergebnis oben noch ein zus\u00e4tzliches j (das ich rot markiert habe). <\/p>\n

F\u00fcr das Endergebnis muss man das ganze nochmal nach der Zeit integrieren. Aus dem Sinus wird hier wieder ein Kosinus und das Argument der Sinusfunktion taucht nun noch einmal als Bruch auf:<\/p>\n\"i-f49c602684a567facc392e107ef3b459-3bpformel9-thumb-500x123.jpg\"<\/a><\/form>\n

Wichtig ist eigentlich nur, dass das zus\u00e4tzliche j immer noch da ist. Und es ist wichtig sich klar zu machen, dass es nur<\/i> bei der Berechnung von  L1<\/sub> bzw.  L2<\/sub> auftaucht. Denn nur hier muss man f\u00fcr die L\u00f6sung die St\u00f6rungsfunktion nach l ableiten – die anderen Gr\u00f6\u00dfen (G,H) haben andere konjugierte Elemente (g,h) die nicht zusammen mit einem j oder k im Argument der Kosinusfunktion auftauchen. Hier entsteht bei der Ableitung also kein zus\u00e4tzliches j oder k!<\/p>\n

Warum ist das wichtig? Wenn man die L\u00f6sung einer Gleichung st\u00f6rungstechnisch aufbaut, setzt man sie aus verschiedenen Elementen zusammen: <\/p>\n\"i-e73e048bc541922582278245338f99e6-3bpformel10-thumb-500x195.jpg\"<\/a><\/form>\n

Ganz am Anfang der Reihe steht der ungest\u00f6rte Fall, der in der Gleichung oben mit \u03c30 <\/sub>bezeichnet wird. Dann folgt der sogenannte S\u00e4kularterm<\/i> \u03c31 <\/sub>, der direkt von der Zeit t abh\u00e4ngt und der entsteht, wenn man in der Summe die Indizes j und k gleich Null setzt. Danach kommen die Terme h\u00f6herer Ordnung die immer weniger zur Genauigkeit der L\u00f6sung beitragen. <\/p>\n

Der S\u00e4kularterm ist wichtig – er h\u00e4ngt direkt von der Zeit ab und w\u00e4chst mit ihr. Je mehr Zeit vergeht, desto gr\u00f6\u00dfer kann er werden. Das ist von gro\u00dfer Bedeutung, wenn man \u00fcber die Stabilit\u00e4t des Sonnensystems Bescheid wissen will. Die relevante Frage ist hier, ob die Bahnen der Planeten bei ihren \u00c4nderungen auf einen bestimmten Bereich beschr\u00e4nkt sind oder beliebig gro\u00df werden k\u00f6nnen. Wenn beispielsweise die Bahn der Venus immer gr\u00f6\u00dfer und gr\u00f6\u00dfer wird – also die gro\u00dfe Halbachse der Venusbahn ungehemmt wachsen kann – dann kann sie irgendwann mit der Erde zusammensto\u00dfen. Nur wenn die \u00c4nderungen beschr\u00e4nkt sind, kann das Sonnensystem stabil bleiben.<\/p>\n

Wenn in der L\u00f6sung ein S\u00e4kularterm existiert, dann kann<\/i> sie allerdings im Laufe der Zeit immer gr\u00f6\u00dfer und gr\u00f6\u00dfer werden. Hier sieht man nun, warum der zus\u00e4tzliche Index bei der L\u00f6sung von \u03c30 <\/sub>\u00e4u\u00dferst wichtig ist: wenn alle Indizes null gesetzt werden (was man ja machen muss um den S\u00e4kularterm zu berechnen), dann sorgt das zus\u00e4tzliche j daf\u00fcr, dass der komplette Ausdruck<\/i> null wird. Die L\u00f6sung von L1<\/sub> hat also keinen S\u00e4kularterm!<\/p>\n

Und da L1<\/sub> direkt von der gro\u00dfen Halbachse des ersten Planeten abh\u00e4ngt ist sichergestellt, dass seine gro\u00dfe Halbachse und damit seine Bahn nicht beliebig gro\u00df werden kann. Das gilt nat\u00fcrlich auch f\u00fcr die L\u00f6sungen der anderen Planeten und somit ist klar, dass das Sonnensystem stabil ist! Die Bahnen der Planeten k\u00f6nnen sich nicht beliebig \u00e4ndern sondern sind auf bestimmte Bereiche beschr\u00e4nkt.<\/p>\n

Allerdings bleibt ein kleiner Sch\u00f6nheitsfehler. Ich hab ja schon erw\u00e4hnt, das die St\u00f6rungsrechnung immer nur N\u00e4herungsl\u00f6sungen liefert, die zwar immer exakter gemacht werden k\u00f6nnen – aber nie v\u00f6llig exakt sein werden. Wenn man die die oben dargestellten L\u00f6sungen verbessert – in der St\u00f6rungstheorie sagt man, dass man zu h\u00f6heren Ordnungen<\/i> \u00fcbergeht – dann \u00e4ndert sich das Bild. Beim \u00dcbergang zur n\u00e4chsth\u00f6heren Ordnung taucht immr noch kein S\u00e4kularterm auf – aber bei der n\u00e4chsten Ordnung ist die Situation anders: hier gibt es dann einen S\u00e4kularterm und es kann nicht f\u00fcr alle Zeiten sichergestellt werden, dass die Planetenbahnen stabil bleiben.<\/p>\n

Das zeigen dann auch die numerischen Simulationen: in erster N\u00e4herung ist unser Sonnensystem stabil – aber wenn man lange Zeitr\u00e4ume betrachtet und alle Effekte inkludiert, dann kann es unter Umst\u00e4nden zu chaotischem Verhalten kommen<\/a>.  <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Im ersten Teil der Serie habe ich die Grundlagen der St\u00f6rungsrechnung erkl\u00e4rt; im zweiten Teil habe ich – hoffentlich halbwegs verst\u00e4ndlich – erl\u00e4utert, wie man die Bewegung der Planeten im Sonnensystem st\u00f6rungstechnisch formuliert. Falls doch noch ein paar Leute \u00fcbrig sind, die sich durch die vielen Formeln nicht abschrecken haben lassen, geht es jetzt weiter: […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3130,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[18,137,3785,3964,594,5316,66,7225,7228,302,580,12736,582,13721,13992,13993],"class_list":["post-18816","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","tag-astronomie","tag-bahnelemente","tag-delaunay-elemente","tag-differentialgleichung","tag-dynamik","tag-fourier-reihe","tag-himmelsmechanik","tag-integral","tag-integration","tag-mathematik","tag-planeten","tag-sakularterm","tag-sonnensystem","tag-stabilitat","tag-storungsfunktion","tag-storungsrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18816","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=18816"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18816\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18817,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18816\/revisions\/18817"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3130"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=18816"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=18816"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=18816"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}