{"id":18296,"date":"2009-07-22T14:03:00","date_gmt":"2009-07-22T12:03:00","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/07\/22\/ein-wenig-chaostheorie-am-piapproximationstag\/"},"modified":"2025-05-14T16:01:50","modified_gmt":"2025-05-14T14:01:50","slug":"ein-wenig-chaostheorie-am-piapproximationstag","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/07\/22\/ein-wenig-chaostheorie-am-piapproximationstag\/","title":{"rendered":"Ein wenig Chaostheorie am Pi-Approximationstag"},"content":{"rendered":"
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Heute mu\u00df ich wieder mal in meiner Eigenschaft als Botschafter der Zahl Pi<\/a> aktiv werden. Denn neben dem 14. M\u00e4rz<\/a> ist der 22. Juli einer der gro\u00dfen Feiertage der Pi-Gemeinde. <\/p>\n

Der 22. Juli oder 22\/7 ist der „Pi-Approximationstag“. Denn die Zahl Pi hat zwar unendlich viele Stellen und l\u00e4sst sich nicht durch einen Bruch darstellen – aber manche Br\u00fcche kommen dem echten Wert von Pi schon recht nahe. Ein alte und sehr bekannte N\u00e4herung f\u00fcr Pi ist 22\/7 = 3.1428…<\/p>\n


\nAbgesehen davon, dass es immer gut ist, einen Anlass zum Feiern zu haben (der Pi-Approximationstag eignet sich hervorragend um mit ein paar Freunden ein sch\u00f6nes Sommerfest zu veranstalten und w\u00e4hrendessen z.B. 22\/7 Liter Bier zu trinken) spielt die Approximation von irrationalen Zahlen auch eine wichtige Rolle in der Theorie dynamischer Systeme.<\/p>\n

Ich habe ja in meiner Mini-Serie \u00fcber Chaostheorie schon einmal die periodischen und quasiperiodischen Bahnen beschrieben<\/a>. Dabei habe ich auch die sg. Rotationszahl erl\u00e4utert: bei periodischen Bahnen ist sie eine rationale Zahl; bei quasiperiodischen Bahnen irrational.<\/p>\n

Jede stabile Bahn (periodisch oder quasiperiodich) in einem dynamischen System l\u00e4sst sich also durch ihre Rotationszahl charakterisieren. Und je schlechter diese Rotatationszahl durch eine rationale Zahl approximierbar ist, desto besser sind die Bahnen vor wirkenden St\u00f6rungen im System gesch\u00fctzt!<\/p>\n

Der Grund daf\u00fcr ist leicht zu erkl\u00e4ren: Resonanzen<\/a>! Resonanzen k\u00f6nnen zur Zerst\u00f6rung stabiler Zust\u00e4nde f\u00fchren und treten z.B. bei Himmelsk\u00f6rper dann auf, wenn deren Umlaufzeiten in einem ganzzahligen Verh\u00e4ltnis zueinander stehen (z.B. 3:1 oder 5:2). Nat\u00fcrlich ist so ein Zustand in der Natur niemals exakt realisiert – aber je n\u00e4her das Verh\u00e4ltnis der Umlaufzeiten einer rationalen Zahl kommt – also je besser es durch eine rationale Zahl approximierbar ist! – desto st\u00e4rker kann die Resonanz wirken. <\/p>\n

Die am schlechtesten approximierbare irrationale Zahl ist \u00fcbrigens die Zahl des ber\u00fchmten goldenen Schnitts<\/a>:<\/p>\n\"i-252caccab2eee3658ae670787a42880f-goldenerschnitt.jpg\"<\/form>\n

Weil diese Zahl am schlechtesten approximierbar ist, hat sie auch in der Kettenbruchdarstellung die einfachste Form:<\/p>\n\"i-3981d9ba65e2953c0d582b3b898d932a-goldenerschnitt2.jpg\"<\/form>\n

Warum das so ist, werde ich jetzt nicht im einzelnen ableiten. Es ist aber relativl leicht zu sehen, wenn man sich klarmacht, wie ein Kettenbruch funktioniert.<\/p>\n

Zahlen, in deren Kettenbruchdarstellung irgendwann nur noch Einsen vorkommen, heissen \u00fcbrigens „noble Zahlen<\/a>„. Es gilt auch hier: je nobler die Rotationszahl einer Bahn, desto stabiler ist sie gegen\u00fcber St\u00f6rungen Die Zahl des goldenen Schnitts ist also auch die nobelste aller Zahlen – und vielleicht ist das der Grund, warum sie in der Natur so oft auftritt. Denn eine m\u00f6glichst schlechte Approximierbarkeit durch rationale Zahlen kann z.B. f\u00fcr das Bl\u00fctenwachstum mancher Pflanzen<\/a> sehr wichtig sein – so ergibt sich der goldene Schnitt ganz von selbst.<\/p>\n

In diesem Sinne w\u00fcnsche ich allen Leserinnen und Lesern noch einen sch\u00f6nen Pi-Approximationstag Tag! <\/p>\n

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