{"id":18120,"date":"2009-06-01T09:00:26","date_gmt":"2009-06-01T07:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/06\/01\/chaotische-systeme-teil-3-stabile-inseln-im-chaotischen-meer\/"},"modified":"2025-05-14T16:00:48","modified_gmt":"2025-05-14T14:00:48","slug":"chaotische-systeme-teil-3-stabile-inseln-im-chaotischen-meer","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/06\/01\/chaotische-systeme-teil-3-stabile-inseln-im-chaotischen-meer\/","title":{"rendered":"Chaotische Systeme Teil 3: Stabile Inseln im chaotischen Meer"},"content":{"rendered":"

Bisher habe ich in meiner Serie \u00fcber chaotische Systeme<\/a> \u00fcber den Phasenraum<\/a> gesprochen und erkl\u00e4rt, welche Arten von Bahnen im Phasenraum<\/a> es gibt. Heute m\u00f6chte ich eine Methode vorstellen, mit der man die verschiedenen Zust\u00e4nde eines Phasenraums sehr sch\u00f6n und sehr einfach visualisieren kann.<\/p>\n

Diese Methode stammt von Henri Poincar\u00e9,<\/i> der nicht umsonst als einer der V\u00e4ter der Chaostheorie gilt. 1889 hat er sich mit dem N-K\u00f6rper-Problem (also der Bewegung von mehr als 2 Himmelsk\u00f6rpern unter ihrem gravitativen Einfluss) besch\u00e4ftigt und herausgefunden, dass es auch bei der Bewegung der Planeten in unserem Sonnensystem chaotische Aspekte gibt. Daf\u00fcr hat er eine originelle Methode entwickelt, um den Phasenraum einfach zu visualisieren.
<\/i>
\n<\/p>\n

Angenommen, wir betrachten eine Bahn im Phasenraum. Und der
\nEinfachheit halber gehen wir mal davon aus, dass der Phasenraum
\ndreidimensional ist. Dann wird der Zustand des Systems durch eine Kurve
\nin diesem dreidimensionalen Raum beschrieben.<\/p>\n

Aber brauchen wir
\nwirklich die komplette Information aus dem ganzen Phasenraum? Poincar\u00e9
\nzeigte, dass das nicht notwendig ist! Wir k\u00f6nnen einfach eine
\nzweidimensionale Ebene durch den Phasenraum legen – dann wird die
\nTrajektorie diese Ebene irgendwann durchsto\u00dfen. Wir k\u00f6nnen nun einfach
\ndie Schnittpunkte zwischen Bahn und Ebene<\/i> betrachten und bekommen die gleichen dynamischen Informationen \u00fcber das System wie bei Betrachtung des Phasenraums!<\/p>\n

Diese Animation veranschaulicht das ganze nochmal:<\/p>\n

\"i-a5a63f61080b75e73408f731ea4a1c0d-Poincare_map.gif\"<\/form>\n

Gestern
\nhabe ich im Rahmen der Action-Angle Variablen erkl\u00e4rt, welche Arten von
\nZust\u00e4nden ein System haben kann. Damit sieht man auch wunderbar, wie
\ndas dann in der Ebene aussieht – die \u00fcbrigens Poincar\u00e9 Surface of Section<\/i> oder einfach nur Surface of Section (SoS)<\/i> genannt wird. <\/p>\n

Da gab es zuerst einmal die periodischen Bahnen<\/i>.
\nDas sind geschlossene Kurven im Phasenraum (entlang der Oberfl\u00e4che
\neines Torus). Diese Kurve ist ein eindimensionales Objekt und wenn ich
\ndas mit einer Ebene schneide, bekomme ich nulldimensionale
\nSchnittpunkte. Eine periodische Bahn ergibt in der SoS also einfach
\neinen Punkt (bzw. mehrere Punkte).<\/p>\n

Einen weitereren geordneten Zustand stellen die quasiperiodischen Bahnen<\/i>
\ndar. Hier f\u00fcllt die Phasenraumkurve die gesamte Oberfl\u00e4che des Torus
\naus – ist also ein zweidimensionales Objekt. Beim Schnitt mit einer
\nEbene entsteht dadurch eine eindimensionale Kurve. In der SoS
\nerscheinen quasiperiodische Bahnen also als geschlossene Kurven.<\/p>\n

Und schlie\u00dflich waren da noch die chaotischen Zust\u00e4nde<\/i>.
\nHier ist die Bahn im Phasenraum nicht mehr auf einen Torus beschr\u00e4nkt
\nsondern kann \u00fcberall hin gehen. Dementsprechend bekommen wir also in
\nder SoS eine ausgedehnte Punktwolke die im Laufe der Zeit den
\nverf\u00fcgbaren Platz in der Schnittebene komplett auff\u00fcllt.<\/p>\n

Am besten ist es, ich zeige einfach ein paar Bilder. Das Beispiel, dass ich hier verwende ist die sg. H\u00e9non-Heiles-Gleichung. <\/i>Im Prinzip beschreiben diese Gleichungen die Bewegung eines Sterns<\/a> im Gravitationsfeld einer Galaxie. Und so kann dann eine bestimmte Surface of Section aussehen:<\/p>\n\"i-25c2aab61c973a30a74d84d3745a4e1f-hh1.jpg\"<\/form>\n

Bild: Andreas Ernst<\/a><\/i><\/font><\/div>\n

Man
\nsieht hier deutlich jede Menge konzentrischer, geschlo\u00dfener Kurven. Das
\nmanche Kurven hier nicht geschlo\u00dfen sondern eher als Strickurven
\nerscheinen, liegt nur an der Darstellung bzw. der endlichen Rechenzeit.
\nUm alle Kurven zu schlie\u00dfen m\u00fcsste man den Phasenraumorbit nur lange
\ngenug verfolgen.<\/p>\n

In dieser Surface of Section erkennt man also
\nhaupts\u00e4chlich quasiperiodische Zust\u00e4nde, die sich um einige periodische
\nBahnen gruppieren (das sind die Punkte im Zentrum der konzentrischen
\nKurven). Das System ist also so gut wie \u00fcberall in einem geordneten
\nZustand. Erh\u00f6ht man die St\u00f6rung auf das System, dann sieht die Surface
\nof Section so aus:<\/p>\n\"i-7b32bd80abc6480c002794377946b63d-hh2.jpg\"<\/form>\n

Bild: Andreas Ernst<\/a><\/i><\/font><\/p>\n<\/div>\n

Einige periodische und quasiperiodische Bereiche sind immer noch
\nvorhanden – aber dazwischen findet man nun gro\u00dfe chaotische Bereiche
\n(die vielen Punkte zwischen den (quasi)periodischen Gebieten). Es hat
\nsich \u00fcbrigens eingeb\u00fcrgert, hier Begriffe aus der Geografie zur
\nBeschreibung zu verwenden. Man spricht also vom „chaotischen Meer<\/i>“ in
\ndem sich „Stabilit\u00e4tsinsel“<\/i> befinden. An so einer Surface of Section
\nkann man nun gut ablesen, wie sich ein System verh\u00e4lt. W\u00e4hlt man als
\nAnfangbedingung den Wert 0.3 f\u00fcr y und den Wert 0 f\u00fcr vy<\/sub>, dann landet man auf einer stabilen Insel und auch das System wird sich geordnet verhalten. W\u00e4hlt man hingegen y=-0.1 und vy<\/sub> = 0 dann befindet man sich mittem im chaotischen Meer und das System wird sich ebenfalls chaotisch verhalten.<\/p>\n

Mit so einer Surface of Section kann man also einfach und schnell einen \u00dcberblick \u00fcber die m\u00f6glichen Zust\u00e4nde erhalten, die in einem System m\u00f6glich sind.<\/p>\n

Zum Abschlu\u00df m\u00f6chte ich noch kurz erkl\u00e4ren, was ein Mapping<\/i> (oder „Map“ oder einfach „Abbildung“) ist. Bei der Berechnung bzw. dem Zeichnen einer Surface of Section<\/i> gibt es einen entscheidenden Nachteil: man muss immer noch die komplette Bahn im Phasenraum berechnen – auch wenn ich sp\u00e4ter nur die Schnittpunkte mit der Ebene betrachte. Es w\u00e4re doch viel praktischer, wenn ich direkt aus einem Punkt der Surface of Section<\/i> berechnen k\u00f6nnte, wo der n\u00e4chste entsprechende Punkt auf der SoS liegen wird. <\/p>\n

Solche Abbildungsvorschriften von einem Punkt zum n\u00e4chsten (bzw. Mappings<\/i>) kann man tats\u00e4chlich finden! Die Mathematik, die beschreibt, wie man von einem Differentialgleichungssystem, das ein bestimmtes System beschreibt, zu einem simplen Mapping kommt, ist allerdings recht knifflig – die werde ich hier nicht genauer darstellen (wer sich nicht vor Formeln f\u00fcrchtet, kann ja z.B. hier<\/a> mal reinschauen \ud83d\ude09 ).<\/p>\n

Es gibt mittlerweile eine ganze Reihe von chaotischen Mappings<\/a>, die den verschiedensten physikalischen Problemen entstammen. Da man mit ihnen sehr schnell und einfach die allgemeinen Eigenschaften chaotischer Systeme untersuchen kann, tauchen sie oft in den unterschiedlichsten Bereichen der Forschung wieder auf. <\/p>\n

Mein erster Kontakt mit der Welt des Chaos war z.B. das H\u00e9non-Map. Die Gleichungen des Mappings sehen ganz unschuldig aus:<\/p>\n\"i-57511ae28af5b69b8064f1ea01507056-henonm.png\"<\/form>\n

Das ist eine ganz simple Iterationsvorschrift: man w\u00e4hlt einen Startwert f\u00fcr x und y (und einen Wert f\u00fcr den Parameter alpha, der das Ausma\u00df der St\u00f6rung im System beschreibt) und kann dann daraus direkt die neuen Werte f\u00fcr x und y w\u00e4hlen. Die nimmt man dann als neue Startwerte – usw. Und doch zeigt das H\u00e9non-Map das komplette Spektrum an chaotischen Eigenschaften das man in nichtlinearen Systemen beobachten kann. Ich habe damals sicher ein ganzes Semester mit diesen Gleichungen rumgespielt und gearbeitet…<\/p>\n

Hier ist z.B. ein typisches Bild der Surface of Section<\/i> (bzw. des zweidimensionalen Phasenraums des System; hier ist das identisch):<\/p>\n\"i-02fd78edaead7f2a83f1d94ca303ca66-henonmap.gif\"<\/form>\n

Wer m\u00f6chte, kann das ja selbst mal programmieren – das ist wirklich nicht schwer (ein entsprechendes Programm hat ein paar dutzend Zeilen; h\u00f6chstens!).<\/p>\n

So viel zu Mappings und Surface of Sections. Im n\u00e4chsten Teil erkl\u00e4re ich dann genau, wie sich die Stabilit\u00e4tsinseln verhalten, wenn das Chaos gr\u00f6\u00dfer wird und wir kommen zum Herzst\u00fcck der Chaostheorie: dem KAM-Theorem. <\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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