{"id":18117,"date":"2009-05-30T09:00:00","date_gmt":"2009-05-30T07:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/30\/chaotische-systeme-teil-2-der-raum-als-donut\/"},"modified":"2025-05-14T16:00:48","modified_gmt":"2025-05-14T14:00:48","slug":"chaotische-systeme-teil-2-der-raum-als-donut","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/30\/chaotische-systeme-teil-2-der-raum-als-donut\/","title":{"rendered":"Chaotische Systeme Teil 2: Der Raum als Donut"},"content":{"rendered":"

Nachdem ich im letzten Artikel erkl\u00e4rt habe, was ein Phasenraum ist, m\u00f6chte ich nun eine spezielle Art von Koordinaten erl\u00e4utern, mit denen man Bahnen im Phasenraum beschreiben kann. Das absolut notwendig, um zu verstehen, wie chaotische Systeme funktionieren. Denn die Phasenraum-Orbits stellen ja die zeitliche Entwicklung eines bestimmten Zustands da. Die Eigenschaften der Bahnen im Phasenraum spiegeln also auch gleichzeitig die Eigenschaften des Systems wieder.<\/p>\n

Die speziellen Koordinaten heissen „Action-Angle-Coordinates“<\/i> was auf deutsch soviel wie „Wirkung-Winkel-Koordinaten“ bedeutet. <\/p>\n

Die genaue Ableitung ist ziemlich mathematisch (hier<\/a> gibt es eine ausf\u00fchrlichere Beschreibung) – deswegen werde ich das ganze an einem Beispiel erkl\u00e4ren.
<\/i>
\n
\nNehmen wir an, wir haben einen vierdimensionalen Phasenraum, also auch
\nvier Koordinaten. Zwei dieser Koordinaten sind im Idealfall ann\u00e4hernd
\nkonstant (das sind die sg. „Actions<\/i>„, also die „Wirkung“), zwei andere
\n\u00e4ndern sich schnell (das sind die „Angles<\/i>„, also die Winkel). Das kann
\nman sich anschaulich so vorstellen:<\/p>\n

\"i-6425696852e7d05c5c6aac8c23435191-torus1-thumb-500x364.jpg\"<\/a><\/form>\n

Die beiden konstanten Koordinaten definieren einen Torus (also ein Donutf\u00f6rmiges Gebilde): eine Wirkung
\n(r1<\/sub>) beschreibt den gro\u00dfen Radius des Torus, die andere (r2<\/sub>) den
\nkleinen Radius. Man kann nun mit den beiden Winkel einen bestimmten
\nPunkt auf der Oberfl\u00e4che dieses Torus beschreiben. <\/p>\n\"i-dac079c7603d30ab3d552c58f748b1eb-torus2-thumb-500x364.jpg\"<\/a><\/form>\n

Im Bild oben ist das
\nder blaue Punkt, der den aktuellen Zustand des Systems (gegeben durch
\ndie beiden Wirkungen und die beiden Winkel) beschreibt. Mit dieser Art
\nvon Koordinaten kann man also eine Trajektorie im Phasenraum als Kurve,
\ndie sich um einen Torus windet, beschreiben. <\/p>\n

Damit kommen wir zu einem
\nweiteren wichtigen Begriff: der Rotationszahl<\/i>.
\nEs gibt verschiedene M\u00f6glichkeiten, wie sich eine Trajektorie um den
\nTorus bewegen kann.<\/p>\n\"i-cdec8e610daf3ef7fd3651e743e7ca52-torus4-thumb-500x357.jpg\"<\/a><\/form>\n

 
In diesem Bild bewegt sich die gelbe Kurve nur um den gro\u00dfen Radius;
\ndie gr\u00fcne nur um den kleinen Radius. Aber im Allgemeinen wird die
\nBewegung um beide Radien herum stattfinden:<\/p>\n\"i-c189906eb188a7f379c40a274187f75b-torus5-thumb-500x357.jpg\"<\/a><\/form>\n

 <\/p>\n

Die orangene Kurve bewegt sich dreimal um den kleinen Radius, w\u00e4hrend sie sich
\neinmal um den gro\u00dfen bewegt und sich schlie\u00dft. Die Rotationszahl ist
\nnun genau das Verh\u00e4ltnis der Anzahl der Windungen um die beiden Radien,
\ndie n\u00f6tig sind, bevor sich die Kurve wieder schlie\u00dft. In diesem Fall
\nist sie 3\/1; also 3. <\/p>\n

Es kann auch sein, dass sich die Trajektorie z.B.
\nf\u00fcnfmal um den kleinen Radius bewegt und zweimal um den gro\u00dfen, bevor
\nsie wieder auf sich selbst trifft. Dann w\u00e4re die Rotationszahl 5\/2.
\nSo eine Trajektorie, die irgendwann wieder auf sich selbst trifft; sich
\nalso schlie\u00dft, nennt man einen periodischen Orbit<\/i>. Es ist leicht zu sehen, dass das immer dann vorkommt, wenn die Rotationszahl rational<\/i> ist – also ein Bruch wie 4\/3, 2\/1, 7\/6, 10\/3, usw. Es kann allerdings auch sein, dass sich die Kurve nicht<\/i>
\nmehr schlie\u00dft. Sie l\u00e4uft einfach immer weiter um den Torus herum, ohne
\nje wieder auf sich selbst zu treffen. Das sieht dann ungef\u00e4hr so aus: <\/p>\n\"i-c74592701765fbf29ee5ccf0fcfcd6e0-torus6-thumb-500x287.jpg\"<\/a><\/form>\n

In diesem Fall ist die Rotationszahl nicht mehr rational, sondern irrational<\/i>
\n(kann also nicht mehr durch einen Bruch dargestellt werden; wie z.B.
\ndie Wurzel aus 2 oder die Kreiszahl Pi<\/a>). Im Laufe der Zeit f\u00fcllt die
\nTrajektorie den Torus immer dichter auf. So eine Bahn nennt man quasiperiodisch<\/i>. Das ist noch kein Chaos – sondern nur eine andere Form der geordneten Bewegung. <\/p>\n

Chaotisch<\/i>
\nwird der Zustand erst, wenn man die Bahn nicht mehr als Bewegung auf
\neinem Torus darstellen kann. Dann \u00e4ndern sich auch die beiden Wirkungen
\n(also die Radien des Torus) stark und ich kann keinen Torus mehr
\ndefinieren, auf dem die Bewegung stattfindet. Die Trajektorie l\u00e4uft
\ndann ungebunden durch den ganzen Phasenraum. <\/p>\n

Ich hoffe, die Erkl\u00e4rung
\nder Bewegung auf dem Torus war halbwegs verst\u00e4ndlich – ich beantworte nat\u00fcrlich noch gerne alle auftretenden Fragen!. Im n\u00e4chsten Teil
\nder Serie werde ich erl\u00e4utern, wie man diese Beschreibung nutzen kann,
\num eine sehr einfache und sehr sch\u00f6ne M\u00f6glichkeit der Charakterisierung
\ndynamischer Systeme zu finden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nachdem ich im letzten Artikel erkl\u00e4rt habe, was ein Phasenraum ist, m\u00f6chte ich nun eine spezielle Art von Koordinaten erl\u00e4utern, mit denen man Bahnen im Phasenraum beschreiben kann. Das absolut notwendig, um zu verstehen, wie chaotische Systeme funktionieren. Denn die Phasenraum-Orbits stellen ja die zeitliche Entwicklung eines bestimmten Zustands da. Die Eigenschaften der Bahnen im […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1883,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[1109,593,3128,4064,594,10666,12576,14736,14756],"class_list":["post-18117","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","tag-action-angle-variables","tag-chaos","tag-chaostheorie","tag-donut","tag-dynamik","tag-nichtlinearitat","tag-rotationszahl","tag-torus","tag-trajektorie"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18117","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=18117"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18117\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18118,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18117\/revisions\/18118"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1883"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=18117"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=18117"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=18117"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}