{"id":18115,"date":"2009-05-29T09:00:45","date_gmt":"2009-05-29T07:00:45","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/29\/chaotische-systeme-teil-1-der-phasenraum\/"},"modified":"2025-05-14T16:00:48","modified_gmt":"2025-05-14T14:00:48","slug":"chaotische-systeme-teil-1-der-phasenraum","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/29\/chaotische-systeme-teil-1-der-phasenraum\/","title":{"rendered":"Chaotische Systeme Teil 1: Der Phasenraum"},"content":{"rendered":"

Was ist eigentlich ein chaotisches System? Was passiert, wenn das Chaos zu stark wird und wie beschreibt man dann alles wissenschaftliche? <\/p>\n

Wenn man dynamische Systeme, KAM-Theorie und Chaos erkl\u00e4ren will, dann muss man zuerst einmal wissen, was ein Phasenraum<\/i> ist. Ein Phasenraum ist etwas abstraktes; ein rein mathematischer Raum, der nichts mit dem „normalen“ dreidimensionalen Raum zu tun hat, den wir jeden Tag erfahren. Der Phasenraum eines dynamischen Systems wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt. Damit ist die Zahl der Parameter gemeint, die n\u00f6tig sind, um das System vollst\u00e4ndig zu beschreiben. <\/p>\n

<\/p>\n

Ein gutes Beispiel daf\u00fcr ist ein Pendel. Wenn wir von einem Pendel
\nausgehen, dass nur in einer Ebene schwingt, dann braucht man genau 2
\nZahlen, um den Zustand des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt zu
\nbeschreiben: den Winkel der Auslenkung aus der Ruheposition und die
\nGeschwindigkeit, die es in diesem Moment hat. Damit ist der Zustand des
\nPendels vollst\u00e4ndig beschrieben; der Phasenraum ist daher
\nzweidimensional.<\/p>\n

Ein Phasenraum kann beliebig viele Dimension haben und nat\u00fcrlich
\nauch mehr als drei. Betrachtet man z.B. das eingeschr\u00e4nkte
\nDreik\u00f6rperproblem (ein kleines Objekt bewegt sich im gravitativen
\nEinfluss zweier gro\u00dfer K\u00f6rper), so findet man dort einen
\nsechsdimensionalen Phasenraum. Man kann das Koordinatensystem beim
\neingeschr\u00e4nkten Dreik\u00f6rperproblem immer so w\u00e4hlen, dass die zwei gro\u00dfen
\nK\u00f6rper sich nicht bewegen (z.B. durch ein mitrotierendes
\nKoordinatensystem). Das komplette System wird also durch die Parameter
\ndes dritten, kleinen K\u00f6rpers beschrieben. Dieser hat nun 3 m\u00f6gliche
\nParameter, die seinen Ort angeben (die drei Raumrichtungen) und
\nebenfalls 3 Parameter, die die Geschwindigkeit in jede der drei
\nRichtungen beschreiben. Macht insgesamt 6 und damit auch einen
\nsechsdimensionalen Phasenraum.<\/p>\n

Man kann nun f\u00fcr jeden beliebigen Zeitpunkt die Parameter bestimmen
\nund einen entsprechenden Punkt im Phasenraum eintragen. Dadurch
\nentsteht ein sg. Trajektorie<\/i> bzw. ein „Phasenraum-Orbit“<\/i>. Die Trajektorie ist eine Kurve, die im Phasenraum liegt und alle m\u00f6glichen Zust\u00e4nde des Systems beschreibt. <\/p>\n

Ein Beispiel ist vielleicht hilfreich: betrachten wir wieder das
\nPendel. Wie oben schon beschrieben, ist der Phasenraum hier
\nzweidimensional:<\/p>\n

\"i-c3ac24f66cce56ff88934e48640813fa-phra01-thumb-500x386.jpg\"<\/a><\/form>\n

Auf der horizontalen Achse ist der Auslenkungswinkel aufgetragen,
\nauf der vertikalen Achse die Geschwindigkeit (in diesem Fall ist das
\ngenaugenommen die \u00c4nderungsrate des Auslenkungswinkel). Wie sieht nun
\nso ein Phasenraumorbit aus?<\/p>\n\"i-b3ca6fb0f08b3f56f8a99fbdfdd9a71d-phra02-thumb-500x386.jpg\"<\/a><\/form>\n

Bei Punkt 1 ist das Pendel maximal ausgelenkt. Der Winkel ist daher
\ngro\u00df – die Geschwindigkeit aber null (es handelt sich um genau den
\nPunkt, an dem das Pendel anh\u00e4lt und wieder zur\u00fcckschwingt). Bei Punkt 2
\nschwingt das Pendel gerade durch die Ruhelage. Hier ist der
\nAuslenkungswinkel per Defintion gleich null, die Geschwindigkeit daf\u00fcr
\nmaximal. Und Punkt 3 zeigt den anderen Umkehrpunkt des Pendels – hier
\nist die Situation wieder wie bei Punkt 1.<\/p>\n

Nat\u00fcrlich kann ich das Pendel anfangs st\u00e4rker auslenken – dann erhalte ich eine andere Trajektorie:<\/p>\n\"i-b4f2029034e6c31b0d4f7006d00c0552-phra03-thumb-500x386.jpg\"<\/a><\/form>\n

Aus Symmetriegr\u00fcnden kann ich die Kurven untenrum erweitern und der
\nfertige Phasenraum des Pendels sieht – zumindest in meiner Skizze – so
\naus:<\/p>\n\"i-ae4c8c073ee99dde8df5ec234dd8a73e-phra04-thumb-500x386.jpg\"<\/a><\/form>\n

Auf dem n\u00e4chsten Bild sieht man, wie der Phasenraum der Pendelbewegung aussieht, wenn man die Trajektorien tats\u00e4chlich berechnet und nicht nur skiziiert:<\/p>\n\"i-ed9dd5edc8e126b2a654eac02c1fb1f0-Separatrix_for_a_Simple_Pendulum-thumb-500x374.png\"<\/a><\/form>\n

In der Mitte sehen wir wieder die ellipsenf\u00f6rmigen Kurven, die verschiedene
\nPendelbewegungen zeigen. Genaugenommen gibt es unendlich viele dieser
\nKurven – aber wenn man zu viele einzeichnet, dann erkennt man nichts
\nmehr. \u00dcber und unter diesen Ellipsen gibt es noch wellenf\u00f6rmige
\nTrajektorien. Diese beschreiben Zust\u00e4nde, bei denen das Pendel nicht
\nhin und her schwingt, sondern im Kreis rotiert. Es bleibt nie stehen
\nund schwingt wieder zur\u00fcck sondern dreht sich immer weiter im Kreis
\nherum (deswegen wird auch die Geschwindigkeit bei diesen beiden Kurven
\nnie gleich null). Dieser Zustand wird „Zirkulation<\/i>“ genannt, im
\nGegensatz zur Pendelbewegung, die man „Oszillation<\/i>“ nennt. Es gibt eine
\nganz spezielle Trajektorie, die beide Zust\u00e4nde trennt (im Bild rot
\neingezeichnet). Sie heisst „Seperatrix<\/i>“ und stellt einen hypothetischen
\nZustand dar, in dem das Pendel immer weiter nach oben schwingt und
\ndabei immer langsamer wird – solange bis es fast vertikal nach oben
\nzeigt. Dieser Position n\u00e4hert sich das Pendel zwar kontinuierlich an;
\nerreicht ihn aber nie (bzw. erst nach einem unendlich langen Zeitraum).<\/p>\n

Die Seperatrix wird sp\u00e4ter noch von Bedeutung sein – denn sie zeigt
\nden Bereich an, wo es zu chaotischer Bewegung kommen kann (eine
\nDefinition von „Chaos“ ist der Wechsel von – verallgemeinerten –
\nOszillationszust\u00e4nden zu Rotationszust\u00e4nden: also ein \u00dcberschreiten der
\nSeperatrix). <\/p>\n

Im Bild oben – dem Phasenraum des Pendels – kann ich also auf einen
\nBlick alle m\u00f6glichen Zust\u00e4nde erkennen, die dieses System einnehmen
\nkann. Es ist also leicht zu sehen, wie wichtig dieses Konzept bei der
\nUntersuchung dynamischer Systeme ist.<\/p>\n

Soweit zum Phasenraum. Im n\u00e4chsten Teil werde ich etwas \u00fcber die „Action-Angle Variables<\/i>“
\nerz\u00e4hlen und \u00fcber die Bewegung von Phasenraumorbits entlang eines
\nTorus. Keine Angst, das klingt schlimmer als es ist \ud83d\ude09 Aber es ist
\nwichtig, diese Konzepte einzuf\u00fchren, damit ich sp\u00e4ter die
\ngrundelegenden Theoreme der Chaostheorie erkl\u00e4ren kann. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Was ist eigentlich ein chaotisches System? Was passiert, wenn das Chaos zu stark wird und wie beschreibt man dann alles wissenschaftliche? Wenn man dynamische Systeme, KAM-Theorie und Chaos erkl\u00e4ren will, dann muss man zuerst einmal wissen, was ein Phasenraum ist. Ein Phasenraum ist etwas abstraktes; ein rein mathematischer Raum, der nichts mit dem „normalen“ dreidimensionalen […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1876,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[593,3128,3971,594,10666,11292,11430,13189,14756],"class_list":["post-18115","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-naturwissenschaften","tag-chaos","tag-chaostheorie","tag-dimensionen","tag-dynamik","tag-nichtlinearitat","tag-pendel","tag-phasenraum","tag-seperatrix","tag-trajektorie"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18115","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=18115"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18115\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18116,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/18115\/revisions\/18116"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1876"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=18115"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=18115"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=18115"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}