{"id":18095,"date":"2009-05-20T10:30:03","date_gmt":"2009-05-20T08:30:03","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/20\/ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-4-die-dynamik-des-tres2-systems\/"},"modified":"2025-05-14T16:00:46","modified_gmt":"2025-05-14T14:00:46","slug":"ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-4-die-dynamik-des-tres2-systems","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/20\/ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-4-die-dynamik-des-tres2-systems\/","title":{"rendered":"Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 4: Die Dynamik des TrES-2 Systems"},"content":{"rendered":"

\"ResearchBlogging.org\"<\/a><\/span><\/p>\n

Nachdem letzte Woche nun endlich mein Artikel \u00fcber die Dynamik des TrES-2 Systems erschienen ist (oder zumindest der preprint bei arXiv<\/a>; der eigentliche Artikel erscheint erst im Juni in den „Astronomischen Nachrichten<\/a>„) kann ich nun endlich meine Serie \u00fcber Ordnung und Chaos und Planetensystemen abschlie\u00dfen.<\/p>\n

In Teil 1<\/a> habe ich erkl\u00e4rt, wie man \u00fcberhaupt anf\u00e4ngt, will man herausfinden, wo sich in einem Planetensystem Himmelsk\u00f6rper auf geordneten Bahnen bewegen k\u00f6nnen und wo nicht. In Teil 2<\/a> habe ich erl\u00e4utert, wie man die Bewegung der Himmelsk\u00f6rper simuliert und berechnet. Und in Teil 3<\/a> habe ich gezeigt, wie man anhand der Ergebnisse unterscheiden kann, ob es sich um geordnete oder chaotische Regionen handelt. <\/p>\n

In diesem vierten Teil werde ich das alles nun anhand eines konkreten Beispiels erl\u00e4utern. Es geht darum, herauszufinden, ob es im Planetensystem um den Stern TrES-2 noch weitere Planeten geben kann – und falls ja, wo.<\/p>\n


\nIch habe diese Arbeit gemeinsam mit meinen Kollegen \u00c1ron S\u00fcli von der Universit\u00e4t Budapest und Barbara Funk von der Universit\u00e4tssternwarte Wien durchgef\u00fchrt.<\/p>\n

Vorbereitungen<\/b><\/font><\/p>\n

Es geht um den Stern TrES-2<\/a>. Er ist fast ein Zwilling der Sonne: Masse, Gr\u00f6\u00dfe und Alter von TrES-2 entsprechen dem unserer Sonne und auch der Spektraltyp (G) ist der gleiche. 2006 wurde um TrES-2 au\u00dferdem ein Planet entdeckt! Man hat festgestellt, dass sich die Helligkeit des Sterns periodisch \u00e4ndert; die Ursache daf\u00fcr war eben genau dieser Planet, der von uns aus gesehen vor dem Stern vorbeizog und sein Licht verdunkelte.
Ebenfalls interessant waren Messungen (u.a. auch von meinen Kollegen an der Sternwarte in Jena), die gezeigt haben, dass diese Verdunkelungen nicht ganz regelm\u00e4\u00dfig sind. Manchmal scheint der Planet ein bisschen zu fr\u00fch oder zu sp\u00e4t zu kommen. Solche Variationen<\/a> k\u00f6nnen ein Hinweis auf weitere, noch unentdeckte Planeten sein.<\/p>\n

Wir wollten deshalb mal nachsehen, wo sich in diesem System \u00fcberhaupt noch weitere Planeten befinden k\u00f6nnen. Der schon bekannte Planet, TrES-2b, befindet sich sehr nahe am Stern. Er umrundet TrES-2 in einem Abstand von nur 0,036 Astronomischen Einheiten (das ist z.B. sehr viel n\u00e4her, als der Merkur an unserer Sonne ist – der hat einen Abstand von etwa 0,4 Astronomischen Einheiten). Dementsprechend schnell ist der Planet: f\u00fcr eine Umrundung braucht er gerade mal 2,5 Tage. Die Bahn ist ann\u00e4hernd kreisf\u00f6rmig (obwohl man das bei Planeten, die durch die Messung von Transits entdeckt worden sind, oft nicht so genau sagen kann). Der Planet selbst ist ein bisschen schwerer und gr\u00f6\u00dfer als Jupiter.<\/p>\n

Wir haben nun also probiert herauszufinden, welche gravitativen St\u00f6rungen dieser Planet auf seine Nachbarschaft aus\u00fcbt und wo man bei TrES-2 noch weitere Planeten finden kann. Das Modell, dass wir daf\u00fcr verwendet haben, war das sg. elliptische eingeschr\u00e4nkte Dreik\u00f6rperproblem<\/i>. Das heisst, wir betrachten zwei gro\u00dfe und schwere Objekte – den Stern und den Planet – wobei sich der Planet auf einer elliptischen Bahn um den Stern bewegt bzw. bewegen kann. Der dritte K\u00f6rper ist das sg. „Testteilchen“ – also ein „masseloses“ Objekt (es wird von Stern und Planet gravitativ beeinflusst, st\u00f6rt diese aber selbst nicht) das wir benutzen, um die gravitativen Bedingungen in verschiedenen Bereichen des Systems zu „messen“. <\/p>\n

Zur Berechnung der Bewegung der Himmelsk\u00f6rper haben wir zwei verschiedene Methoden benutzt: einmal einen Bulirsch-Stoer Algorithmus<\/a> und einmal einen Lie-Integrator<\/a>.<\/p>\n

Mit den Testteilchen haben wir einen Bereich untersucht, der sich von 0.014 AE Abstand zum Stern bis hin zu 0.183 AE erstreckt. Zus\u00e4tzlich haben wir Exzentrizit\u00e4ten der Testteilchen zwischen 0 und 0.5 untersucht und Bahnneigungen (Inklinationen<\/a>) zwischen 0 und 50 Grad.<\/p>\n

Die Integrationszeit, also der Zeitraum, \u00fcber den wir die Bewegung der Himmelsk\u00f6rper verfolgt haben, betrug 105<\/sup> Uml\u00e4ufe von TrES-2b um seinen Stern. <\/p>\n

Schlie\u00dflich brauchen wir auch noch Chaosindikatoren<\/a>. Daf\u00fcr haben wir einerseits die „Maximum Eccentricity Method (MEM)“<\/i> verwendet, also gemessen, wie gro\u00df die Exzentrizit\u00e4t der Bahn der Testteilchen im Laufe der Zeit wurde. Zus\u00e4tzlich haben wir auch noch sg. „Liapunov Characteristic Indicators (LCIs)“<\/i> berechnet, mit denen man ebenfalls zwischen chaotischen und regul\u00e4ren Bahnen unterscheiden kann.<\/p>\n

So weit zu den Vorraussetzungen – alles in allem l\u00e4uft das auf eine Simulation von etwa 350.000 Objekten hinaus. Die Computer waren also einige Zeit besch\u00e4ftigt \ud83d\ude09 Aber schlie\u00dflich waren die Ergebnisse da.<\/p>\n

Resultate<\/b><\/font><\/p>\n

Als erstes  haben wir uns die Stabilit\u00e4t im „(a-e)-Raum“ angesehen. Das soll heissen, dass wir verschiedene Anfangswerte f\u00fcr die gro\u00dfe Halbachse (a) und Exzentrizit\u00e4t (e) der Testteilchen gew\u00e4hlt und dann untersucht haben, ob diese Kombinationen in stabilen oder chaotischen Bahnen resultieren. <\/p>\n

Wie so etwas aussieht, das folgende Bild. Auf der horizontalen Achse sind die Werte f\u00fcr die gro\u00dfe Halbachse angegeben; auf der vertikalen die f\u00fcr die Exzentrizit\u00e4t. F\u00fcr jeden Punkt in dieser Ebene haben wir die Bewegung des entsprechenden Teilchens simuliert. Die Farbe zeigt das Ergebnis – sie gibt den Maximalwert der Exzentrizit\u00e4t an, den die Testteilchen w\u00e4hrend der Simulation erreicht haben. Je gr\u00f6\u00dfer dieser Wert ist, desto chaotischer ist die Region. Gelb\/Rot zeigt regul\u00e4re Bereiche an; die chaotischeren Bereiche sind gr\u00fcn\/blau.<\/p>\n

Und so sieht das ganze dann aus:<\/p>\n

\"i-ae0acd8894f252ae98f2ea4489f041bd-a-em0-thumb-500x340.jpg\"<\/a><\/form>\n

Man sieht erstmal deutlich, dass in der unmittelbaren Umgebung von TrES-2b (der sich bei 0.036 AE befindet) kein Platz f\u00fcr weitere Planeten ist – dort ist alles schwarz; also instabil. Man sieht auch, dass diese instabile Region umso gr\u00f6\u00dfer wird, je gr\u00f6\u00dfer die Exzentrizit\u00e4t der Testteilchen ist. Ist ja auch logisch – je exzentrischer und damit langgestreckter die Bahn ist, desto gr\u00f6\u00dfer ist die Chance, dass sie mit dem Planeten kollidieren. <\/p>\n

F\u00fcr diese Simulation wurde au\u00dferdem die anf\u00e4ngliche mittlere Anomalie M<\/a><\/i> der Testteilchen auf 0 Grad gesetzt. Die mittlere Anomalie bestimmt im Prinzip, wo sich ein Objekt entlang seiner Bahn befindet. In einem anderen Artikel habe ich schon beschrieben, dass es unter Umst\u00e4nden sehr wichtig sein, wie man die mittlere Anomalie w\u00e4hlt. Denn die bestimmt, ob eventuell auftretende Resonanzen<\/a> stabilisierend oder st\u00f6rend wirken k\u00f6nnen. <\/p>\n

Wir haben daher die gleiche Simulation nochmal f\u00fcr einen anf\u00e4nglichen Wert der mittleren Anomalie von M=45\u00b0, M=90\u00b0, usw wiederholt. Die Ergebnisse sieht man hier:<\/p>\n\"i-31f36dd5b91a05539ca13ce9df49a4b3-a-e.jpg\"<\/form>\n

Die allgemeine Form der regul\u00e4ren und chaotischen Bereiche bleibt gleich – aber in den Details unterscheiden sich die Bilder. Besonders bei M=90\u00b0 (das Bild links in der mittleren Reihe) sieht man jede Menge vertikale Streifen, in denen die Bewegung stabil ist. Das liegt an den eben angesprochenen Resonanzen. Hier stehen die Umlaufzeiten von Planet und Testteilchen in einem ganzzahligen Verh\u00e4ltnis und die Wahl der mittleren Anomalie von 90 Grad f\u00fchrt dazu, dass diese Anfangsbedingungen sehr stabil sind. <\/p>\n

Wir haben auch die Stabilit\u00e4tsregionen in der (a-i)-Ebene untersucht. Im Prinzip l\u00e4uft hier alles so wie vorhin. Nur haben wir diesmal die Anfangswerte von gro\u00dfer Halbachse (a) und Bahnneigung (i) varriert und geschaut, ob stabile oder chaotische Bahnen resultieren. Hier ist das Ergebnis:<\/p>\n\"i-e9240204cad17bd49bb00affa8eda010-e001-thumb-500x335.jpg\"<\/a><\/form>\n

Die Farbcodierung ist wieder so wie oben: gelb\/rot heisst stabil; gr\u00fcn\/blau heisst chaotisch. Man sieht, dass fast der gesamte Bereich stabil ist – nur in der N\u00e4he von TrES-2b kann kein zus\u00e4tzlicher Planet existieren. Es ist au\u00dferdem fast egal, wie stark die Bahn der Testteilchen gegen\u00fcber der von TrES-2b geneigt ist. Der instabile Bereich ist bei gro\u00dfen Inklinationen nur wenig gr\u00f6\u00dfer als bei kleinen und nur innerhalb der Bahn von TrES-2b zeigen sich bei Inklinationen die gr\u00f6\u00dfer sind als ~35 Grad erste Anzeichen von Chaos.<\/p>\n

Dieses Diagramm haben wir unter der Annahme berechnet, dass sich die Testteilchen auf ann\u00e4hernd kreisf\u00f6rmigen Bahnen bewegen. Aber wie wir oben gesehen haben, muss das nicht unbedingt der Fall sein; auch exzentrische Bahnen k\u00f6nnen stabil sein. Wir haben daher die Rechnungen f\u00fcr verschiedene anf\u00e4ngliche Exzentrizit\u00e4ten wiederholt.<\/p>\n

Hier sieht man das Ergebnis f\u00fcr eine Anfangsexzentrizit\u00e4t von e=0.3:<\/p>\n\"i-f2e57aeecb6f5c263bf0a25a65aef89b-e03-thumb-500x328.jpg\"<\/a><\/form>\n

Der chaotische Bereich rund um TrES-2b ist deutlich gewachsen. Man erkennt au\u00dferdem wieder die streifenf\u00f6rmigen Muster, die auf Resonanzen hinweisen. Und direkt um die Bahn von TrES-2b (bei 0.036 AE) hat sich eine kleine „stabile“ Insel gebildet – hierbei k\u00f6nnte es sich um Testteilchen handeln, die in einer Trojanerkonfiguration<\/a> gefangen sind. <\/p>\n

Erh\u00f6ht man die anf\u00e4ngliche Exzentrizit\u00e4t auf 0.5, bleiben fast keine stabilen Bereiche mehr \u00fcbrig:<\/p>\n\"i-815bce3db546fbd017cffcf32f4545fe-e05-thumb-500x323.jpg\"<\/a><\/form>\n

Um die wichtige Rolle der Resonanzen genauer zu untersuchen, haben wir nochmal extra ein paar Rechnung durchgef\u00fchrt, bei denen Testteilchen genau in den resonanten Positionen gestartet wurden. Hier ist eines unserer Ergebnisse:<\/p>\n\"i-1e28a5a5bb3a06ddd0e26ea3b21a017e-resonanzen-thumb-500x360.jpg\"<\/a><\/form>\n

Jeder schwarze oder wei\u00dfe Punkt entspricht einer bestimmten Resonanz. Um welche es sich handelt kann man rechts ablesen; ihre Position steht links im Diagramm. F\u00fcr jede Resonanz haben wir die Testteilchen auf verschiedenen Positionen entlang ihrer Bahn gestartet (das sind die verschiedenen Werte f\u00fcr M im Diagramm). Ein wei\u00dfer Punkt bedeutet, dass die Resonanz stabil ist; schwarz heisst instabil. Man sieht, dass es z.B. bei der 2:3 Resonanz darauf ankommt, wo genau sich der Planet zu Beginn der Simulation befindet w\u00e4hrend andere Resonanzen immer stabil (z.B. die 1:5 Resonanz) oder immer instabil (z.B. die 3:4 Resonanz) sind.<\/p>\n

Ich will jetzt nicht noch weiter in die Details gehen – wer interessiert ist, kann das im Artikel<\/a> selbst nachlesen (oder mich hier fragen \ud83d\ude09 ).<\/p>\n

Aber ich m\u00f6chte nochmal die Ergebnisse zusammenfassen. Kann es dort noch weitere Planeten geben oder nicht?<\/p>\n

Ja, kann es! Es gibt dort noch sehr gro\u00dfe stabile Bereiche, in denen sich weitere Planeten befinden k\u00f6nnten. Selbst innerhalb<\/i> der Bahn von TrES-2b (der ja eigentlich schon sehr nahe am Stern ist) k\u00f6nnte es noch weiter Planeten geben! Auch Planeten auf elliptischen Bahnen sind m\u00f6glich; ebenso wie Planete auf stark geneigten Bahnen. Das k\u00f6nnte hinsichtlich einer Suche nach diesen potentiellen Planeten allerdings problematisch sein. Denn wenn die Bahn eines weiteren Planeten gegen\u00fcber der von TrES-2b stark geneigt ist, dann werden wir von der Erde nicht mehr beobachten k\u00f6nnen, wie dieser das Licht des Sterns verdunkelt. Eine Entdeckung mit dieser Methode ist nicht m\u00f6glich. Aber daf\u00fcr kann ein Nachweis eventuell mit der oben schon angesprochenen Messung der „Versp\u00e4tung“ von TrES-2b gelingen.<\/p>\n

TrES-2b ist also ein gutes System, um nach weiteren Planeten zu suchen! Und auch f\u00fcr die Theoretiker ist dort noch l\u00e4ngst nicht alles ausgereizt. Im Moment arbeite ich an einer weitere Untersuchung dieses Systems – Ziel ist es, ganz genau auszurechnen, was<\/i> ein Beobachter sehen k\u00f6nnte, wenn es dort wirklich noch weitere Planeten gibt. <\/p>\n

Freistetter, F., S\u00fcli, A., & Funk, B. (2009). Dynamics of the TrES-2 system Astronomische Nachrichten, 330<\/span> (5), 469-474 DOI: 10.1002\/asna.200811199<\/a><\/span><\/font><\/p>\n

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\u00c4hnliche Artikel:<\/b><\/u> Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 1: Probleme mit den Parametern<\/a>, Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 2: Wie man simuliert<\/a>, Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 3: Wie misst man Chaos?<\/a>, Resonanzen und <\/p>\n

Frequenzen<\/a>, Wie beschreibt man die Bahn eines Himmelsk\u00f6rpers?<\/a>, Chaos im Sonnensystem<\/a>, <\/p>\n

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unp\u00fcnktlich sind…<\/a>, Trojaner am Himmel<\/a>, Erdnahe <\/p>\n

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