{"id":18048,"date":"2009-05-06T13:15:10","date_gmt":"2009-05-06T11:15:10","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/06\/integration-durch-differenzieren-lieintegration\/"},"modified":"2025-05-14T16:00:39","modified_gmt":"2025-05-14T14:00:39","slug":"integration-durch-differenzieren-lieintegration","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/05\/06\/integration-durch-differenzieren-lieintegration\/","title":{"rendered":"Integration durch Differenzieren: Lie-Integration"},"content":{"rendered":"

Die Infinitesimalrechnung (Integration und Differentation) geh\u00f6rt zu den wichtigsten Werkzeugen der Naturwissenschaftler. Sehr viele Prozesse in der Natur lassen sich als Differentialgleichung darstellen; also als Gleichungen, in dem denen nicht nur der gesuchte Parameter selbst vorkommt sondern auch dessen \u00c4nderungsrate.<\/p>\n

Um solche Differentialgleichungen l\u00f6sen zu k\u00f6nnen, muss man sie integrieren<\/i>. Das ist knifflig: jeder der schon ein bisschen auf diesem Gebiet gearbeitet hat wei\u00df, dass die Integration im Gegensatz zum Differenzieren sehr schwer sein kann. Differenzieren geht immer. Da braucht man nur die bekannten Regeln anwenden und kann damit alles und jedes differenzieren – egal wie komplex der Ausdruck ist. Differenzieren kann auch jedes bessere Computer-Mathematikprogramm. Integrieren dagegen ist schwerer. Hier gibt es zwar auch ein paar Regeln – aber keine allgemeing\u00fcltige Vorschrift wie bei der Differentation. Da braucht es dann sehr oft viel Kreativit\u00e4t bzw. Genialit\u00e4t um L\u00f6sungen f\u00fcr Differentialgleichungen zu finden. Und manchmal findet man \u00fcberhaupt keine.<\/p>\n

Auch in der Astronomie und speziell in der Himmelsmechanik ist das L\u00f6sen von Differentialgleichungen wichtig. Ich m\u00f6chte hier jetzt eine ganz spezielle Methode vorstellen, bei der man Differentialgleichungen durch differenzieren<\/i> l\u00f6sen kann anstatt durch Integration!<\/p>\n

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\"i-52500d0a3da85bf7e2bc5f2eb4758829-Lie-thumb-150x182.jpg\"<\/a><\/form>\n

Lie-Operatoren und Lie-Reihen<\/b><\/font><\/p>\n

Die Methode der Lie-Integration basiert auf den Arbeiten des norwegischen Mathematikers Sophus Lie (1842-1899). Lie hat auf vielen Gebieten der Mathematik gearbeitet und sich auch mit Differentialgleichungen besch\u00e4figt. <\/p>\n

Dabei hat er den sg. „Lie-Operator“ eingef\u00fchrt. Nicht erschrecken, jetzt wird es ein wenig mathematisch. Ist aber nicht schlimm – auch wenns fies aussieht, in Wirklichkeit ist es ganz einfach \ud83d\ude09 <\/p>\n

Der Lie-Operator D sieht folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n\"i-ed21da183a1a97562a9d5a62bcc73375-gleichung1.jpg\"<\/form>\n

Ein Operator ist  im Prinzip nichts anderes als eine mathematische Rechenvorschrift. Was der Lie-Operator macht, sieht man am besten, wenn man ihn auf eine Funktion anwendet:<\/p>\n\"i-d6f0df1941c453e726b32a6beb4b5b46-gleichung2.jpg\"<\/form>\n

Wir haben also eine Funktion f <\/i>(z.B. f(x)=sin(x)<\/i>) und wenden den Operator D auf sie an. Dann sagt uns der Operator, dass wir die Funktion zuerst nach z1<\/sub> ableiten m\u00fcssen – das ist die Bedeutung der \u2202-Symbole. Diese Ableitung wird dann mit \u03b81<\/sub> multipliziert, wobei \u03b81<\/sub> ebenfalls eine bestimmte Funktion ist. Danach passiert das selbe nochmal mit z2 <\/sub>und \u03b82 <\/sub>– und so weiter. Keine Angst, es wird bald klarer, was ich meine. Wichtig ist vorerst nur, dass der Lie-Operator eine Rechenvorschrift ist, die (u.a.) sagt: Differenziere die Funktion!<\/p>\n

Mit diesem Operator kann man nun eine Lie-Reihe<\/i> definieren:<\/p>\n\"i-15c45a24fbd81a75ccab4a4fb5d1f9d6-gleichung3.jpg\"<\/form>\n

Falls jemand das gro\u00dfe \u03a3-Symbol nicht kennen sollte: Das ist eine mathematisch kurze Art, Summen zu schreiben. An der Ober- und Unterseite des \u03a3-Symbols sieht man, wie summiert werden soll. In diesem Fall soll zuerst im Ausdruck hinter dem \u03a3 der Wert f\u00fcr \u03bd<\/i> gleich 0 gesetzt werden. Danach wird v<\/i> gleich 1 gesetzt, dann gleich 2, usw. bis zum letzten Wert, der in diesem Fall unendlich ist. Dann werden alle Ausdr\u00fccke addiert. <\/p>\n

Im Fall der Lie-Reihe m\u00fcssen wir f\u00fcr jeden Teil der Summe einen Bruch berechnen (tv<\/sup> \/ v!)<\/i>, wobei das „!“ die Rechenoperation „Fakult\u00e4t“ anzeigt (x!=1*2*3*…*x<\/i>). Danach wird der Lie-Operator auf die Funktion f(z)<\/i> angewandt und das Ergebnis mit dem Bruch multipliziert. Das hochgestellte v beim Lie-Operator gibt hier an, wie oft der Operator hintereinander angewandt werden soll. <\/p>\n

F\u00fcr v=0<\/i> ist das recht einfach: t hoch 0 ist 1 und 0! ist ebenfalls 1. Der Bruch ergibt also 1\/1 = 1. Danach m\u00fcssen wir den Lie-Operator null mal auf die Funktion anwenden – also gar nicht. Es bleibt also einfach nur die Funktion selbst \u00fcbrig: f(z).
F\u00fcr <\/span>v=1<\/i> ist <\/span>t hoch 1 gleich t und 1! ist wieder 1. Der Bruch ergibt also t\/1=t. Dazu kommt der Lie-Operator, einmal angewandt auf f(z): t*Df(z).
F\u00fcr <\/span>v=2<\/i> ist <\/span>t hoch 2 gleich t\u00b2 und 2! ist 1*2=2. Nun muss der Lie-Operator zweimal auf f(z) angewandt werden, wir m\u00fcssen also zuerst D(f) bestimmen und dann nochmal D (D(f)). Oder, in k\u00fcrzerer Schreibweise: D\u00b2f(z).<\/p>\n

Und so geht das dann weiter, f\u00fcr alle Zahlen zwischen 0 und unendlich. Wer ein bisschen mehr Ahnung von Mathematik hat, den erinnert die Sache mit den Br\u00fcchen vielleicht an etwas bestimmtes. Man kann n\u00e4mlich eine Funktion wie z.B. sin(x) oder cos(x) auch als eine unendliche Reihe, so wie die Lie-Reihe oben, darstellen. F\u00fcr die Exponentialfunktion ex<\/sup> <\/i>sieht diese Reihe so aus:<\/p>\n

<\/span><\/p>\n\"i-9b91163618a06016763b5f418cd25910-gleichung4.jpg\"<\/form>\n

Das sind genau die Br\u00fcche, die auch in der Lie-Reihe als Faktoren vor dem Lie-Operator auftauchen! Man kann also die Lie-Reihe auch symbolisch unter Miteinbeziehung der Exponentialfunktion so schreiben:<\/p>\n\"i-01e429cd990d670d7fd680dbb3e0c4c5-gleichung5.jpg\"<\/form>\n

Der Vertauschungssatz<\/b><\/font><\/p>\n

Was kann man nun mit so einer Lie-Reihe anstellen? Wolfgang Gr\u00f6bner hat 1960 den sg. Vertauschungssatz aufgestellt und bewiesen (siehe „Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen<\/a>„; ist schwer zu kriegen das Buch – falls wer Interesse hat, einfach Bescheid sagen!). Dieser Satz besagt, dass es egal ist, ob ich zuerst die Funktion f<\/i> auf den Parameter z<\/i> anwende und dann erst den Operator etD<\/sup><\/i> oder ob ich die Reihenfolge vertausche:<\/p>\n\"i-4a9c82b0afa409c63d06c7125abf315a-gleichung8.jpg\"<\/form>\n

Wie hilft uns das jetzt bei der L\u00f6sung von Differentialgleichungen? Auch das kann man einfach zeigen. Angenommen, wir haben ein System von Differentialgleichungen (erster Ordnung) gegeben:<\/p>\n\"i-aefb267999bc2634f0be9f16508ad637-gleichung9.jpg\"<\/form>\n

(Ich bringe dann nachher gleich ein Beispiel dazu). Wir wissen also, dass die zeitliche \u00c4nderung des Parameters zi<\/sub> (dzi<\/sub>\/dt) gleich einer Funktion \u03b8i<\/sub> ist. Und wir wollen daraus den Parameter zi<\/sub> selbst bestimmen. Normalerweise m\u00fcssten wir nun die Funktion \u03b8i<\/sub> integrieren um diese L\u00f6sung zu erhalten. Jetzt behaupte ich aber, dass die L\u00f6sung folgenderma\u00dfen gegeben ist:<\/p>\n

z<\/i>i<\/i><\/sub> = e<\/i>t<\/i>D<\/i><\/sup>\u03be<\/span>i<\/i><\/sub> <\/span><\/font><\/div>\n

wobei \u03bei<\/i><\/sub><\/span> die Anfangsbedingungen sind (also die Werte von zi<\/i><\/sub><\/span> zum Zeitpunkt t=0). Wenn ich auf diese Anfangswerte die Lie-Reihe anwende, dann bekomme ich die gesuchte L\u00f6sung! Dass das auch stimmt, l\u00e4sst sich leicht zeigen, indem man diese L\u00f6sung nach der Zeit ableitet (also den Lie-Operaor anwenden):<\/p>\n\"i-39d0327ae4a60be33e29aacf81e0038b-gleichung10.jpg\"<\/form>\n

Der Vertauschungssatz sagt mir dann, dass ich folgendes machen darf:<\/p>\n

DetD<\/sup>\u03bei<\/sub> = etD<\/sup>D\u03bei<\/sub><\/span><\/i><\/font> <\/div>\n

Wenn man den Lie-Operator auf \u03bei<\/i><\/sub><\/span> anwendet, dann bekommt man nat\u00fcrlich folgendes;<\/p>\n\"i-74e66a0627ba34facd2cf6fac6781219-gleichung11.jpg\"<\/form>\n

<\/p>\n

Damit (und einer weiteren Anwendung des Vertauschungssatzes) kann man nun zeigen, dass aus unserer angenommen L\u00f6sung von oben wieder die urspr\u00fcngliche Differentialgleichung folgt:<\/p>\n\"i-efbf3aecd396051d57ffe9745897a431-gleichung12.jpg\"<\/form>\n

Der Ausdruck<\/p>\n

z<\/i>i<\/i><\/sub> = e<\/i>t<\/i>D<\/i><\/sup>\u03be<\/span>i<\/i><\/sub> <\/span><\/font><\/div>\n

ist also tats\u00e4chlich die L\u00f6sung der Differentialgleichung – und das ganz ohne integrieren!<\/p>\n

Ein Beispiel<\/b><\/font><\/p>\n

Vielleicht ist ein kleines Beispiel ganz praktisch (falls \u00fcberhaupt jemand bis hier mitgelesen hat;) ). Nehmen wir an, wir wollen diese Differentialgleichung l\u00f6sen:<\/p>\n\"i-b82002cda463ccf3ad2e3c40ae98b446-gleichung13.jpg\"<\/form>\n

Physiker werden darin die bekannte Gleichung eines harmonischen Oszillators erkennen. Diese Gleichungen m\u00fcssen wir noch ein bisschen umformulieren um auf ein System von Gleichungen erster Ordnung zu kommen:<\/p>\n\"i-f65174c4b29881eefc5de15c8a395610-gleichung14.jpg\"<\/form>\n

<\/p>\n\"i-610734eee53540e8000e8332c45e5647-gleichung15.jpg\"<\/form>\n<\/p><\/div>\n

Wir haben also nun 2 Gleichungen f\u00fcr x und y . Dann brauchen wir zur L\u00f6sung noch Anfangsbedingungen f\u00fcr den Zeitpunkt t=0. Die werden normalerweise mit  \u03be und <\/span>\u03b7 bezeichnet:<\/span> <\/span> x<\/i>(t<\/i> = 0) = \u03be<\/span> und y<\/i>(t<\/i> = 0) = \u03b7<\/span>. Damit k\u00f6nnen wir die explizite Form des Lie-Operators f\u00fcr dieses Beispiel anschreiben:<\/p>\n\"i-f0a4c738ceb54f1c075fc4d3de2ba849-gleichung16.jpg\"<\/form>\n

<\/div>\n

Die L\u00f6sungen, die wir suchen, sind nun durch die Lie-Reihen gegeben:
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x<\/i> = e<\/i>\u03c4D<\/i><\/sup>\u03be,<\/span><\/font><\/dd>\n<\/dl>\n
\n
y<\/i> = e<\/i>\u03c4D<\/i><\/sup>\u03b7<\/span><\/font><\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n

Das Symbol \u03c4 steht hier f\u00fcr den Zeitschritt (t<\/i> \u2212 t<\/i>0<\/sub><\/span>) – also den Zeitraum, der seit t=0 vergangen
ist und f\u00fcr den wir die L\u00f6sung suchen. Man kann nun die Lie-Reihe wieder explizit anschreiben (jetzt mal nur f\u00fcr x):<\/p>\n\"i-de541e6358c5bb0217f9c44d15207016-gleichung17.jpg\"<\/form>\n

Nun kann man anfangen, die einzelnen Terme dieser Reihe zu berechnen:<\/p>\n

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D<\/i>\u03be = \u03b7 = \u03b81<\/sub><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n
\n
D<\/i>2<\/sup>\u03be = D<\/i>\u03b7 = \u2212 \u03b12<\/sup>\u03be = \u03b82<\/sub><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n
\n
D<\/i>3<\/sup>\u03be = \u2212 \u03b12<\/sup>D<\/i>\u03be = \u2212 \u03b12<\/sup>\u03b7<\/span><\/dd>\n<\/dl>\n
\n
D<\/i>4<\/sup>\u03be = \u2212 \u03b12<\/sup>D<\/i>\u03b7 = \u03b14<\/sup><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n

und so weiter. Im Prinzip k\u00f6nnte man das bis in alle Ewigkeit machen (m\u00fcsste man eigentlich sogar, da es ja eine unendliche Reihe ist) – schwierig w\u00e4re es nicht. Wie schon gesagt – differenzieren kann man immer und mehr muss man hier nicht tun. Aber gl\u00fccklicherweise kann man allgemein zeigen, dass in diesem Fall gilt:<\/p>\n

\n
D<\/i>2n<\/i><\/sup>\u03be = ( \u2212 1)n<\/i><\/sup>\u03b12n<\/i><\/sup>\u03be<\/span><\/dd>\n<\/dl>\n
\n
D<\/i>2n<\/i> + 1<\/sup>\u03be = ( \u2212 1)n<\/i><\/sup>\u03b12n<\/i><\/sup>\u03b7<\/span><\/dd>\n<\/dl>\n

Ich muss also nicht alle unendlichen Terme berechnen, sondern kann einfach f\u00fcr n eine beliebige Zahl einsetzen und sofort den entsprechenden Term ausrechnen. Diese Terme kann ich nun in die Lie-Reihe einsetzen und bekomme:<\/p>\n\"i-5a42e8c410f2878c4754e8041eab1c59-gleichung18.jpg\"<\/form>\n

Wenn man diese Ausdr\u00fccke noch ein wenig umsortiert, dann sieht das so aus:<\/p>\n\"i-e6113c72068c088605f6c2a7643c9727-gleichung19-thumb-500x39.jpg\"<\/a><\/form>\n

Die Experten werden in den Reihen in den beiden Klammern wieder (so wie schon oben bei der Exponentialfunktion beschrieben) die alternativen Darstellungen zweier bekannter Funktionen erkennen: Kosinus und Sinus. Die L\u00f6sung lautet also:<\/p>\n\"i-789dcc35bc2914f3e4530e13587f599d-gleichung20.jpg\"<\/form>\n

Und das ist gl\u00fccklicherweise auch tats\u00e4chlich die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators. Wir haben die Differentialgleichung also gel\u00f6st – und das ganz ohne integrieren!<\/p>\n

Lie-Integration in der Himmelsmechanik<\/b><\/font><\/p>\n

Nat\u00fcrlich schafft man es nicht immer, als L\u00f6sung einen geschlossenen Ausdruck zu erhalten, wie in obigem Beispiel. Oft muss man sich damit begn\u00fcgen, die unendliche Reihe der L\u00f6sung nach etwa 10 bis 20 Termen abbzubrechen. Das ist aber nicht sonderlich tragisch – denn die Lie-Reihen sind konvergent – jeder nachfolgende Term ist also immer kleiner als der vorhergehende. Man macht keinen gro\u00dfen Fehler, wenn man die Reihe abbricht und kann das Ergebnis sogar beliebig genau berechnen, wenn man mehr und mehr Terme ber\u00fccksichtigt. Und da die Terme alle automatisch von Computerprogrammen berechnet werden k\u00f6nnen, l\u00e4sst sich das alles wunderbar automatisieren.<\/p>\n

Auch die Gleichungen des gravitativen N-K\u00f6rper-Problems – also die Bewegung von N Himmelsk\u00f6rpern – konnten mit den Lie-Reihen (numerisch) gel\u00f6st werden. Hier sogar besonders elegant, weil man – wie bei dem Beispiel mit dem harmonischen Oszillator – eine Iterationsformel f\u00fcr die Lie-Terme finden konnte. Man muss hier also nicht mehr jede Ableitung explizit berechnen sondern kann einfach jeden Term aus dem vorhergehenden ausrechnen. Wer die Details wissen will, kann diese beiden Artikel hier durcharbeiten: <\/p>\n