{"id":17965,"date":"2009-04-04T22:42:16","date_gmt":"2009-04-04T20:42:16","guid":{"rendered":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/04\/04\/ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-2-wie-man-simuliert\/"},"modified":"2009-04-04T22:42:16","modified_gmt":"2009-04-04T20:42:16","slug":"ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-2-wie-man-simuliert","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/astrodicticum-simplex.ulrich.digital\/index.php\/2009\/04\/04\/ordnung-und-chaos-in-extrasolaren-planetensystemen-teil-2-wie-man-simuliert\/","title":{"rendered":"Ordnung und Chaos in extrasolaren Planetensystemen Teil 2: Wie man simuliert"},"content":{"rendered":"

Wie findet man heraus, ob es in extrasolaren Planetenystemen noch weitere, unentdeckte Planeten geben k\u00f6nnte? Dazu muss man die m\u00f6glichen dynamischen Zust\u00e4nde analysieren. Im ersten Teil der Serie<\/a> habe ich schon \u00fcber die gr\u00fcnds\u00e4tzliche Problematik der Parameterwahl geschrieben. <\/p>\n

Probleme mit N K\u00f6rpern<\/b><\/font><\/p>\n

Aber angenommen, wir haben uns auf eine bestimmtes Set von Anfangswerten geeinigt. Dann kann es losgehen mit der Simulation. Aber wie bestimmt man nun, wo in einem Planetensystem chaotische Bereiche sind und wo Ordnung herrscht?<\/p>\n

Erstmal muss man die Bewegung der Himmelsk\u00f6rper simulieren – bzw. die \u00c4nderungen ihrer Bahnen im Laufe der Zeit. Man muss das sg. „N-K\u00f6rper-Problem“<\/i> l\u00f6sen, also bestimmen, wie sich Positionen und Geschwindigkeiten von Himmelsk\u00f6rper unter ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehungskraft \u00e4ndern. <\/p>\n

Bei der Untersuchung von Planetensystemen verwendet man meistens eine Variation des Problems: das sg. eingeschr\u00e4nkte N-K\u00f6rper-Problem<\/i>. Das bedeutet folgendes: einer der untersuchten K\u00f6rper ist im Vergleich zu den anderen so klein, dass man seine Masse getrost ignorieren kann. Dieser K\u00f6rper wird also zwar von den anderen gravitativ beeinflusst; beeinflusst aber selbst die \u00fcbrigen Objekte so gut wie gar nicht. <\/p>\n

Wenn wir beispielsweise die Bewegung von Sonne, Jupiter und einem Asteroid betrachten, dann l\u00e4sst sich die Situation gut durch ein eingeschr\u00e4nktes 3-K\u00f6rper-Problem<\/i> beschreiben. Der Asteroid wird zwar durch Sonne und Jupiter beeinflusst; seine gravitative Wirkung auf den Stern und den Gasriesen sind aber vernachl\u00e4ssigbar klein. Selbst wenn wir Sonne, Jupiter und z.B. die Erde betrachten, ist das eingeschr\u00e4nkte 3-K\u00f6rper-Problem immer noch eine sehr gutes Modell.<\/p>\n

Und auch in den extrasolaren Planetensystemen l\u00e4sst es sich sehr gut einsetzen. In den meisten F\u00e4llen haben wir einen Stern, einen schon bekannten extrasolaren Planet (meist sehr gro\u00df) und einen kleinen „Testk\u00f6rper“, anhand dessen Bahn wir bestimmen wollen, wo sich die chaotischen und regul\u00e4ren Bereiche befinden. Das eingeschr\u00e4nkte 3-K\u00f6rper-Problem eignet sich also auch hier bestens. Sind in dem extrasolaren System schon 2 Planeten entdeckt worden, dann rechnet man mit einem eingeschr\u00e4nkten 4-K\u00f6rper-Problem – usw.<\/p>\n

Gen\u00e4herte Gleichungen<\/b><\/font><\/p>\n

Die Differentialgleichungen, die gegenseitige gravitative Beeinflussung beschreiben, sind leicht zu formulieren. Die Kr\u00e4fte werden hier mit Newtons Gravitationsformel beschrieben. Man k\u00f6nnte das ganze nat\u00fcrlich auch mit der exakteren allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie rechnen – aber das ist viel aufwendiger und – wenige Spezialf\u00e4lle ausgenommen – man gewinnt bei den Ergebnissen nicht signifikant an Genauigkeit.<\/p>\n

Diese Gleichungen m\u00fcssen jetzt „nur“ noch gel\u00f6st werden. Leider wissen wir sp\u00e4testens seit der Arbeit von Henri Poincare<\/i> im Jahr 1890, dass keine allgemeine, analytische L\u00f6sung f\u00fcr das N-K\u00f6rper-Problem existiert. Es gibt also keine geschlossene Formel, die uns einfach und schnell die L\u00f6sung f\u00fcr eine beliebige Ausgangssituation verr\u00e4t. Man muss die Gleichungen numerisch behandeln und N\u00e4herungsl\u00f6sungen bestimmen.<\/p>\n

Der Ausdruck „N\u00e4herungsl\u00f6sunung“ darf hier nicht falsch verstanden werden! Mit diesen „N\u00e4herungen“ sind wir immerhin dazu f\u00e4hig, z.B. Raumsonden punktgenau zu anderen Himmelsk\u00f6rpern zu steuern und dort zu landen. Die „N\u00e4herung“ ist also weit davon entfernt, ungenau<\/i> zu sein. Mit ausreichend viel Zeit und ausreichend Computern kann man die Ergebnisse (wieder sind bestimmte Spezialf\u00e4lle ausgenommen) sogar beliebig genau berechnen.<\/p>\n

Zur numerischen L\u00f6sung von Differentialgleichungen haben die Mathematiker eine Vielzahl an Methoden entwickelt. Je nach Zweck und gew\u00fcnschter Genauigkeit kann man sich hier unter Dutzenden M\u00f6glichkeiten und Variationen entscheiden. Ein Standardverfahren ist z.B. die Runge-Kutta-Methode. F\u00fcr unsere Zwecke, die Untersuchung von extrasolaren Planetensystemen, ist sie allerdings nicht genau genug.<\/p>\n

Ein sehr nettes Verfahren ist die sg. Lie-Integration<\/i><\/a>. Normalerweise muss man Differentialgleichungen (numerisch) integrieren<\/i>, um sie zu l\u00f6sen. Bei der Lie-Integration kann man die Differentialgleichungen allerdings durch differenzieren<\/i> l\u00f6sen. Und damit ist sie f\u00fcr eine numerische Methode nat\u00fcrlich optimal geeignet – denn differenzieren kann man (im Gegensatz zum integrieren) am Computer jederzeit und alles (hier<\/a> kann man einen Lie-Integrator runterladen).<\/p>\n

Dann gibt es noch jede Menge andere Verfahren: die Bulirsh-Stoer-Integration<\/i> beispielsweise oder verschiedenste sg. symplektische Integrationsverfahren<\/i>. Eines gibt es allerdings nicht: standardisierte Software. Bzw. es gibt<\/i> fertige Softwarepakete zur numerischen Integration von Planetenbahnen – die sind aber sehr weit entfernt von dem, was man als normaler User unter „Software“ versteht. Im Prinzip handelt es sich hier um den Quellcode verschiedener Programme die von verschiedenen Wissenschaftlern entwickelt und sp\u00e4ter ver\u00f6ffentlicht wurden. „Swift<\/a>“ ist einer dieser Integratoren – oder „Mercury6<\/a>“ (Leider gibt es mit dieser Seite Probleme und ich habe noch nicht rausgefunden, wo man Mercury6 im Moment runterladen kann). Wenn man wenig Ahnung von Himmelsmechanik bzw. Programmieren hat, dann wird man mit diesen Programmen meistens kaum klar kommen (eine Ausnahme ist Mercury6<\/i> – dieses Programm ist meiner Meinung nach sehr einfach zu verstehen und zu verwenden!).<\/p>\n

Wie simuliert man richtig?<\/b><\/font><\/p>\n

Wir haben uns also nun f\u00fcr eine numerische Methode zur L\u00f6sung der Differentialgleichungen entschieden. In diesen Programm stecken wir nun also unsere Anfangswerte und starten die Simulation! Tja – so einfach ist es leider nicht, denn wir m\u00fcssen zuerst wieder ein paar Parameter w\u00e4hlen – diesmal um unsere Simulation zu steuern.<\/p>\n

Der erste wichtige Parameter ist die Integrationszeit: wie lange wollen wir die Bewegung der Planeten simulieren? 10 Jahre? 1000 Jahre? Eine Million Jahre oder gar eine Milliarde Jahre? Das ist eine fundamentale Entscheidung, denn die Ergebnisse k\u00f6nnen stark von der Wahl abh\u00e4ngen. Chaotische Effekte brauchen eine gewisse Zeit, bis sie sichtbar werden. verfolge ich die Bahnen von Himmelsk\u00f6rper beispielsweise nur 100 Jahre, dann werde ich kaum etwas bemerkenswertes feststellen. Gerade mal dort, wo die St\u00f6rungen extrem stark sind, k\u00f6nnte man etwas sehen. Will man sicher sein, dass man die wichtigsten dynamischen Aspekte registriert, dann sollte man mindestens<\/i> einige hundertausend Jahre simulieren. Nat\u00fcrlich h\u00e4ngt die eigentliche Dauer von der Umlaufzeit der Objekte ab. Bei einem Planeten, der seinen Stern innerhalb einiger Tage umkreist muss ich nicht so lange simulieren wie beispielsweise bei Asteroiden im Kuiperg\u00fcrtel, die f\u00fcr eine Umkreisung Jahrhunderte dauern.<\/p>\n

Neben der Integrationszeit ist auch die Schrittweite<\/i> sehr wichtig. Wie ich oben schon beschrieben habe, m\u00fcssen die L\u00f6sungen der Differentialgleichungen numerisch gen\u00e4hert werden. Dazu nimmt man einen bestimmten Ausgangszustand und berechnet daraus den gen\u00e4herten Zustand f\u00fcr einen zuk\u00fcnftigen Zeitpunkt. Habe ich beispielsweise die Positionen und Geschwindigkeiten der Planeten im Sonnensystem f\u00fcr den 5. April 2009 vorliegen, dann kann ich daraus – mit den passenden numerischen L\u00f6sungsmethoden – direkt zu den Positionen und Geschwindigkeiten f\u00fcr den 6. April kommen. Von dort dann zum 7. April, und so weiter. Ich k\u00f6nnte auch direkt vom 5. zum 7. April gehen – dann w\u00fcrde die Integratorschrittweite 2 Tage<\/i> betragen anstatt einem Tag, wie zuvor. Die Ergebnisse werden dann allerdings ungenauer. Je kleiner meine Schrittweite ist, desto genauer werden die Ergebnisse – aber desto l\u00e4nger muss ich auch rechnen, um zu den Ergebnissen zu kommen!<\/p>\n

Die Wahl der Schrittweite kann unter Umst\u00e4nden ganz sch\u00f6n knifflig sein. Will ich beispielsweise die Bewegung von Pluto simulieren, dann kann ich als Schrittweite ruhig einen Wert von etwa 10 Jahren nehmen. Plutos Umlaufzeit um die Sonne ist so lang, dass hier kleinere Werte keinen gro\u00dfen Gewinn in der Genauigkeit bringen. Will ich dagegen die Bewegung von Merkur simulieren, dann werde ich mit einer Schrittweite von 10 Jahren keine vern\u00fcnftigen Ergebnisse bekommen. Innerhalb von 10 Jahren bewegt sich Merkur dutzende Male um die Sonne: dieser Wert ist viel zu gro\u00df, um seinen Umlauf aufzul\u00f6sen. Hier sollte die Schrittweite besser nur einige Tage betragen. Was macht man aber nun, wenn man die Bewegung von Pluto und<\/i> Merkur berechnen will? Tja – hier hat man Pech gehabt: der schnellste Planet bestimmt die Schrittweite. Wenn ich f\u00fcr Merkur eine Schrittweite von wenigen Tagen brauche, dann muss ich auch Pluto damit rechnen. Das schadet zwar nicht – die Ergebnisse werden h\u00f6chstens ein bisschen genauer. Aber es dauert viel l\u00e4nger, bis man alles durchgerechnet hat. Das ist \u00fcbrigens auch der Grund, warum bei den meisten Simulationen des Sonnensystems Merkur ignoriert wird. Erstens ist er sowieso so klein, dass seine St\u00f6rungen auf die anderen Planeten vernachl\u00e4ssigbar sind – und zweitens zwingt er einen dazu, eine sehr kleine Schrittweite w\u00e4hlen zu m\u00fcssen. Ist man daher nicht direkt an Merkur selbst interessiert, ignoriert man ihn meistens \ud83d\ude09 <\/p>\n

Wir haben also nun die Anfangswerte unserer Simulation bestimmt, die Integrationsmethode gew\u00e4hlt und uns f\u00fcr passende Simulationsparameter entschieden. Jetzt kann es losgehen mit der Rechnung. Die erledigt gl\u00fccklicherweise der Computer f\u00fcr uns; wir sind erst wieder gefragt, wenn es an die Auswertung der Daten geht. Aber dazu dann mehr beim n\u00e4chsten Mal.\n<\/p>\n

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